Question

证明：函数在区间I上有界的充分必要条件是函数在I上既有上界又有下界

Answer 1

必要性：函数在区间I上有界，即存在M,对于任意x∈I,有|f(x)|<M,即-M<f(x)<M,因而-M即为函数在I上的下界，M为上界，即函数在I上既有上界又有下界；充分性：设函数在I上有上界M,有下界N,即对于任意x∈I,有f(x)<M,f(x)>N,取|M|与|N|中较大者（若M=N,则任意）为P,则对于任意x∈I,有|f(x)|<P,所以函数在区间I上有界。

Answer 2

必要性：函数在区间I上有界，即存在M,对于任意x∈I,有|f(x)|<M,即-M<f(x)<M,因而-M即为函数在I上的下界，M为上界，即函数在I上既有上界又有下界；
充分性：设函数在I上有上界M,有下界N,即对于任意x∈I,有f(x)<M,f(x)>N,
取|M|与|N|中较大者（若M=N,则任意）为P,则对于任意x∈I,有|f(x)|<P,所以函数在区间I上有界。