Question

已知：在三角形ABC中，角ABC为45°，CD垂直AB于点D，BE平分角ABC，且BE垂直AC于点E

……与CD相交于点F，H是边BC的中点，连接DH与BE相交于点G。
求证：BF=AC，CE=二分之一BF，CE与BG的大小关系，说明理由。

Answer 1

∵BE平分角ABC，且BE垂直AC于点E,
∴根据等腰三角形"三线合一",可知,三角形ABC是等腰三角形;AB=BC..
∠BAC＝∠BCA
又∵∠ABC＝45°,
∴∠BAC＝∠BCA＝(180°-45°)/2=67.5°;
在三角形BCD中,∠BCD=180°-∠ABC-∠BDC
=180°-45°-90°
=45°.
即三角形BCD是等腰直角三角形;
BD=CD;
且:
∠ACD=∠BCA-∠BCD=67.5°-45°
=22.5°;
∠DBF=∠ABC/2=45°/2
=22.5°;
故 ∠ACD=∠DBF.
又因为∠BDC=∠ADC=90°,
BD=CD,
则△BDF≌△ACD (角边角)
∴ BF=AC.

∵三线合一,
∴CE=AE=二分之一AC
=二分之一BF.

连接CG.
∵三角形BCD是等腰直角三角形,
而且H是边BC的中点，即DH是三角形BCD中BC边的中线,
则DH⊥BC;
即DH垂直平分BC.
∴BG=CG.
易知,GF＜CG,则GF＜BG.
而 BG+GF=BF,
故 BG＞二分之一BF．
即 CE＜BG