怎样利用现有高中知识解4X^3-3X+1=0这个一元3次方程?
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4X³-3X+1=0
取x=-1时,两边为0 原方程x+1是他的一个分解式
使用4X^3-3X+1除以x+1,得到4X²-4X+1
你能得到4X^3-3X+1=0的解为x+1=0,4X²-4X+1=0
解得x1=-1,x2=x3=1/2
一元n次方程,如果是习题,一般用分解因式法解之。如果是一般问题,只好求近似解。
5次及以上的方程根本没有解的公式,3次、4次即便有公式,也不胜其烦。
但有几点可简化求解:
例如方程 ax^n+bx^(n-1)+cx^(n-2)+......+ux+v=0
(1) 当系数之和等于0时,方程一定有根 x=1;
(2) 当偶次幂项系数之和等于奇次幂项系数之和时,方程一定有根 x=-1;
二次方程求根公式:
x1,2=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)
三,四次方程有求根公式,具体很复杂,你可以去百科上搜出来,但是不实用。一般来说,对于整系数方程,先试出一个根,再用多项式除法把其它根算出来。
五次以上方程有没有求根公式是困扰数学家多年的大课题,它最终是少年天才Galois证明的,五次以上方程没有固定的求根公式。所以一般解高次方程,特别是做题时遇到的因式分解等题目,都是用多项式除法来解。
取x=-1时,两边为0 原方程x+1是他的一个分解式
使用4X^3-3X+1除以x+1,得到4X²-4X+1
你能得到4X^3-3X+1=0的解为x+1=0,4X²-4X+1=0
解得x1=-1,x2=x3=1/2
一元n次方程,如果是习题,一般用分解因式法解之。如果是一般问题,只好求近似解。
5次及以上的方程根本没有解的公式,3次、4次即便有公式,也不胜其烦。
但有几点可简化求解:
例如方程 ax^n+bx^(n-1)+cx^(n-2)+......+ux+v=0
(1) 当系数之和等于0时,方程一定有根 x=1;
(2) 当偶次幂项系数之和等于奇次幂项系数之和时,方程一定有根 x=-1;
二次方程求根公式:
x1,2=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)
三,四次方程有求根公式,具体很复杂,你可以去百科上搜出来,但是不实用。一般来说,对于整系数方程,先试出一个根,再用多项式除法把其它根算出来。
五次以上方程有没有求根公式是困扰数学家多年的大课题,它最终是少年天才Galois证明的,五次以上方程没有固定的求根公式。所以一般解高次方程,特别是做题时遇到的因式分解等题目,都是用多项式除法来解。
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先猜根,用0,±1,±2这种,此题-1是根。
然后用多项式除法,用(4X^3-3X+1)/(x+1),得到(4x^2-4x+1),再用十字交叉法解一元二次方程,得到另两个根是1/2和1/2。
综上所述,这个3次方程的3个根是:-1,1/2,1/2。
然后用多项式除法,用(4X^3-3X+1)/(x+1),得到(4x^2-4x+1),再用十字交叉法解一元二次方程,得到另两个根是1/2和1/2。
综上所述,这个3次方程的3个根是:-1,1/2,1/2。
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解缺项三次方程的法则
用x系数的1/3加上方程常数的一半的平方:求这整个算式的平方根。复制(重复)这一算式,并在第一个算式中加上方程常数的一半,从第二个算式中减去同一个数的一半......然后,用第一个算式的平方根减去第二个算式的平方根,其值即为x的值
用x系数的1/3加上方程常数的一半的平方:求这整个算式的平方根。复制(重复)这一算式,并在第一个算式中加上方程常数的一半,从第二个算式中减去同一个数的一半......然后,用第一个算式的平方根减去第二个算式的平方根,其值即为x的值
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先试试找个根,如x=-1就是它的根
4X^3-3X+1=(x+1)(4x^2-4x+1)=(x+1)(2x-1)^2=0
x1=-1,x2=x3=1/2
4X^3-3X+1=(x+1)(4x^2-4x+1)=(x+1)(2x-1)^2=0
x1=-1,x2=x3=1/2
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4x³-3x+1=0
x³+1+3X^3-3x
(x+1)(x²-x+1)+3x(x²-1)=0
(x+1)(x²-x+1)+3x(x+1)(x-1)=0
(x+1)(x²-x+1+3x²-3x)=0
(x+1)(4x²-4x+1)=0
(x+1)(2x-1)²=0
x=-1 或 x=1/2
x³+1+3X^3-3x
(x+1)(x²-x+1)+3x(x²-1)=0
(x+1)(x²-x+1)+3x(x+1)(x-1)=0
(x+1)(x²-x+1+3x²-3x)=0
(x+1)(4x²-4x+1)=0
(x+1)(2x-1)²=0
x=-1 或 x=1/2
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