Question

把小数0.987654321变成循环小数使第100位上的数是5,那么这个小数的循环节是多少

把小数0.987654321变成循环小数使第100位上的数是5,那么这个小数的循环节是多少.要列式计算。

Answer 1

循环节是54321

第一个点肯定为1， 而第二个点要大于5，即只能为5，6，7，8，9。
那么后面的91个数，最后一个数为5。设这个点为 X
则： 9 8 7 6 5 4 3 2 1
|<------X------->| （5 到 9 的某个数）
要让最后的一个数为5。则 后面的91个数有 91/ X (91除以 X 取整数部分) 个的 “X 到 1”（可以把它想象成一个整体)，还有剩余的几个数，也就是不能构成一个完整“X 到 1”的那些数。
剩余的个数为 91% X （91除以 X 的余数）。那么要使得最后一个数为5，则从剩余的那些数的第一个数，也就是 X 开始，向右到剩余的最后一个也就是5的距离（这段距离为 X - 5 +1）正好为剩余的总个数，也就是 91% X ,所以 可以得到公式：
91 除以 X 的余数 = x - 5 +1
把 X 从 9 ， 8， 7， 6， 5 一个一个的带入公式算。可以得到 只有5 满足。
X = 5; 91 除以 5 的余数 = 1; 5 - 5 +1 = 1; 满足。
X = 6; 91 除以 6 的余数 = 1; 6 - 5 +1 = 2; 不满足。
X = 7; 91 除以 7 的余数 = 0; 7 - 5 +1 = 3; 不满足。
X = 8; 91 除以 8 的余数 = 3; 8 - 5 +1 = 4; 不满足。
X = 9; 91 除以 9 的余数 = 1; 9 - 5 +1 = 5; 不满足。

可以得到 只有5 满足。

追问

辛苦】

追答

将小数0.987654321改为循环小数，如果小数点后的第20位上的数字是5，那么表示循环节的两个点应分别加在数字-5-和-1-上面。

-------------------------------------
第5位和第20位上的数字都是5
20-5=15
循环节长度必须是15的因数

因为 15=3*5 只有1,3,5,15这4个因数
所以 循环节长度只能是5位

表示循环节的两个点应分别加在数字5和1上面。

将小数0.987654321改为循环小数，如果小数点后的第20位上的数字是5，那么表示循环节的两个点应分别加在数字-5-和-1-上面。

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第5位和第20位上的数字都是5
20-5=15
循环节长度必须是15的因数

因为 15=3*5 只有1,3,5,15这4个因数
所以 循环节长度只能是5位

表示循环节的两个点应分别加在数字5和1上面。

Answer 2

把小数0.987654321变成循环小数,如果要使100位上的数是5,那么这个小数的循环节是多少?
54321