Question

以正方形ABCD的BC边为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB边于点E，则三角形ADE和

以正方形ABCD的BC边为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB边于点E，则三角形ADE和直角梯形EBCD周长之比为多少？

Answer 1

解：（如图）

∵DE是半圆的切线          DC、BE也是半圆的切线

∴DF=DC              EB=EF        且∠1= ∠ 2          ∠ 3=∠4     

∵∠1＋∠ 2＋∠ 3＋∠4=180° 

∴∠ 2＋∠4=90°           ∠1＋∠ 3=90°

而∠ 3＋∠6=90°

∴∠1=∠6

∴Rt△EOB∽Rt△ODC

∴EB:OB=OC:CD=1:2

设正方形的边长为2

则OB=OC=1           DF=DC=2         EF= BE=1/2

于是△ADE周长=AD＋DE＋AE=2＋5/2＋3/2=6

        梯形EBCD周长=BC＋CD＋DE＋BE=2＋2＋5/2＋1/2=7

∴△ADE周长：梯形EBCD周长=6：7

Answer 2