Question

求证 椭圆上任意一点与过焦点点的弦的两端点连线的斜率之积为定值

题目有误！！！求证 椭圆上端点与过焦点点的弦的两端点连线的斜率之积为定值

Answer 1

郭敦顒回答：
这是个伪命题。
椭圆x²/a²+y²/b²=1，左焦点为F1（－c，0），右焦点为F2（c，0），在上顶点为B（0，b），下顶点为B′（0，－b），
若椭圆上任意一点P与过焦点点的弦的两端点连线的斜率之积为定值q，两斜率分别为k1和k2则
q=k1•k2=－b²/c²，为负值。
如果点P在第一象限，且坐标为P（c＜x＜a，h），作PD⊥X轴于D， PD=h，
则=k1•k2=h²/[（c+x）x，] ，为正值，且| h²/[（c+x）x，]|＜|－b²/c²|
所以，此题伪命题。

追问

求证 椭圆上端点与过焦点点的弦的两端点连线的斜率之积为定值

追答

郭敦顒继续回答：
椭圆上端点与过焦点的弦的两端点连线的斜率之积为定值，是过上顶点B（0，b），和下顶点为B′（0，－b），过焦点的弦的两端点连线的斜率之积为定值，这个定值为q，
过上顶点B（0，b）时，有k1=b/（－c）=－b/c，k2=b/c，
∴q=k1•k2=－b²/c²；
过下顶点B′（0，b）时，有k1=－b/（－c）=b/c，k2=－b/c=b/c，
∴q=k1•k2=－b²/c²，
∴两弦不论是过椭圆的上端点还是下端点，过焦点的弦的两端点连线的斜率之积总为定值q=k1•k2=－b²/c²。
这个结果在原回答中已提到过。

Answer 2

没表达清楚: 定值是对固定的椭圆上一点还是对一条固定的焦点弦?
不过其实两种理解的结论都不成立, 请检查题目来源.

反例: 椭圆x²/25+y²/16 = 1, 左焦点F(-3,0).
过F的焦点弦x = -3端点为A(-3,16/5)和B(-3,-16/5),
椭圆上一点P(3,16/5), 可知PA斜率为0, PB斜率为16/15, 斜率积为0.
然而无论是P变动还是焦点弦变动, 总可以使两个斜率均不为0, 从而斜率积不为定值.

欢迎修正题目后追问.

追问

求证 椭圆上端点与过焦点点的弦的两端点连线的斜率之积为定值

追答

端点应该指是长轴端点吧, 比较正规的解析证明如下:
不妨设椭圆方程为C: x²/a²+y²/b² = 1, a > b > 0, c > 0满足c² = a²-b².
可知左焦点为F(-c,0), 长轴端点分别为P(-a,0)和Q(a,0).
为使命题有意义, 过F的焦点弦不与长轴重合, 可设其方程为L: x+c = ky.
与椭圆的两个交点坐标分别设为A(s,t), B(u,v).
将L的方程代入C的方程, 可知t, v是(ky-c)²/a²+y²/b² = 1的两根.
由根与系数关系, t+v = (2kc/a²)/(k²/a²+1/b²) = 2kc/(k²+a²/b²) ①,
tv = (c²/a²-1)/(k²/a²+1/b²) = (c²-a²)/(k²+a²/b²) = -b²/(k²+a²/b²) ②.
PA的斜率为t/(s+a), PB的斜率为v/(u+a), 因此斜率积 = tv/((s+a)(u+a))
= tv/(((kt-c)+a)((kv-c)+a))
= tv/(k²tv+k(a-c)(t+v)+(a-c)²)
= (-b²/(k²+a²/b²))/(-k²b²/(k²+a²/b²)+2k²c(a-c)/(k²+a²/b²)+(a-c)²)
= -b²/(-k²b²+2k²c(a-c)+(a-c)²(k²+a²/b²))
= -b²/(k²(-b²+2c(a-c)+(a-c)²)+(a-c)²a²/b²)
= -b²/(k²(-b²+a²-c²)+(a-c)²a²/b²)
= -b⁴/((a-c)²a²),
是与k无关的定值.
同理, QA与QB的斜率积 = tv/((s-a)(u-a))
= tv/(k²tv-k(a+c)(t+v)+(a+c)²)
= -b²/(-k²b²-2k²c(a+c)+(a+c)²(k²+a²/b²))
= -b²/(k²(-b²+a²-c²)+(a+c)²a²/b²)
= -b⁴/((a+c)²a²),
也是与k无关的定值.

追问

谢谢，请问有没有关于椭圆类准线类焦点方面的其他资料？

追答

不用谢.
其实还有一种用极坐标的方法, 大意如下:
端点A, B的极坐标可分别设为: (θ,ep/(1-ecos(θ)))和(θ+π,ep/(1+ecos(θ))).
由此得到A, B的直角坐标, 算得QA, QB的斜率分别为:
epsin(θ)/(a+c-e(a+c+p)cos(θ))和-epsin(θ)/(a+c+e(a+c+p)cos(θ)).
由e = c/a, p = a²/c-c代入化简得:
epsin(θ)/((a+c)(1-cos(θ)))和-epsin(θ)/((a+c)(1+cos(θ))).
相乘得斜率积 = -e²p²/(a+c)² = -b⁴/((a+c)²a²)为与θ无关的定值.

我没有收集整理过这方面的资料.
与椭圆的焦点, 准线相关的性质非常之多, 不过做题的套路并不是很多.
就这道题来说, 第一种证法对交点设而不解, 用根与系数关系化简就是一种常见方法.
第二种证法借助极坐标方程处理焦点相关问题, 时常能使事半功倍.
总之只要随着做题注意积累, 就能对各种问题应对自如.