Question

当x→2时，y=x^2→4，问δ等于多少，使当|x-2|<δ时，|y-4|<0.001？ 求大神

当x→2时，y=x^2→4，问δ等于多少，使当|x-2|<δ时，|y-4|<0.001？

求大神详细解答过程，感激不尽~~

Answer 1

应该把 |y-4|<0.001 解出来，就可以大约估计 δ 了。

|y-4|<0.001 ，
|x^2-4|<0.001 ，
|x+2|*|x-2|<0.001 ，
由于 x 接近于 2 ，因此 x+2 接近于 4 ，
那么只要取 δ=0.001/5=0.0002 （之所以分母是 5，就是要使取的值更小。分母取 10 或其他大于 5 的值都可以），
就可使得当 |x-2|<δ （此时 |x+2|<2.0002+2=4.0002 ）时，
有 |y-4|=|x^2-4|=|x+2|*|x-2|<4.0002*0.0002<0.001 。

Answer 2

因为|y-4|＜0.001
所以|x^2-4|＜0.001
即|x+2|*|x-2|＜0.001
因为x趋向2，
所以|x-2|＜1
所以|x+2|=|x-2+4|=|x-2|+4＜5
所以|x^2-4|＜5|x-2|＜ε
所以|x-2|＜ε/5
又因为ε=0.001且要满足|x-2|＜δ
则令δ=ε/5=0.0002