Question

如图，已知在三角形abc中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD的延长线上，求证：(1)ABD≌△ACD(2)BE=CE

Answer 1

证明：（1）∵AB=AC
D是BC边的中点
∴BD=CD
∴△ABD≌△ACD （SSS）
（2）∵△ABC是等腰三角形，D是BC边的中点
∴AD⊥BC
又E在AD延长线上
∴∠BDE=∠CDE=90°
又BD=CD
∴△BDE≌△CDE （SAS）
∴BE=CE

Answer 2

2013•荆门）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．

考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
专题：证明题．
分析：（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAE=∠EAC，然后利用“边角边”证明△ABE和△ACE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）先判定△ABF为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的两直角边相等可得AF=BF，再根据同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角边角”证明△AEF和△BCF全等即可．
解答：证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAE=∠EAC，
在△ABE和△ACE中，

AB＝AC
∠BAE＝∠EAC
AE＝AE

，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE=CE；

（2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AF=BF，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF+∠C=90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBF，
在△AEF和△BCF中，

∠EAF＝∠CBF
AF＝BF
∠AFE＝∠BFC＝90°

，
∴△AEF≌△BCF（ASA）．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，是基础题，熟记三角形全等的判定方法与各性质是解题的关键．

Answer 3

(1)D是BC中点，得到BD=BC，又AB=AC，AD=AD，三边都等，所以是全等三角形
(2)BD=DC，DE=DE，∠BDE=∠CDE=90度，边角边定理，所以BDE≌△CDE
对应边相等，所以BE=CE

Answer 4

证明：（1）∵AB=AC
D是BC边的中点
∴BD=CD
∴△ABD≌△ACD
（SSS）
（2）∵△ABC是等腰三角形，D是BC边的中点
∴AD⊥BC
又E在AD延长线上
∴∠BDE=∠CDE=90°
又BD=CD
∴△BDE≌△CDE
（SAS）
∴BE=CE