Question

高数1两个重要极限中第一个极限的证明

书上是用，直接推到cosx<sinx/x<1，这是怎么推的，我用前面的不等式都除以tanx也得不到后者。
复制word乱码了，

Answer 1

首先，做一个单位圆，取起始边为x正半轴，在第一象限的角，角的大小为x，这个角为AOB,
A,B都是圆上的点，B在x正半轴上，
那么我们容易知道，
三角形AOB的面积就是S1=1/2AO*BO*sin(角AOB)=1/2*1*1*sinx=sinx/2
在第一象限的扇形AOB的面积S2=1/2*r^2*x=x/2
显然，扇形面积比三角形面积大了弧AB和弦AB围成的图形的面积，
所以说S1≤S2也就是说sinx/2≤x/2,也就是说sinx≤x

追问

谢谢回复。

Answer 2

0 < sinx < x < tanx = sinx/cosx
1 < x/sinx < 1/cosx
cosx <sinx/x < 1