Question

已知：关于x的一元二次方程（b-c）x²+（c-a）x+a-b=0有两个相等的实数根。求a b c的关系。

本题可以这样解吗？我觉得有点不严谨。填空选择可以这样猜，解答题应该不行吧。。。

到底能不能这样写理由啊？

解：由已知, b-c≠0,
即 b≠c.

因为 (b-c) +(c-a) +(a-b) =0,
所以 x=1 是原方程的根,
所以 原方程的两根为
x1 =x2 =1.

由韦达定理,
-(c-a) /(b-c) =2,
(a-b) /(b-c)=1.

即 a-c =2(b-c),
a-b =b-c.

即 2b =a+c.

所以 a,b,c 的关系为 2b =a+c, 且 b≠c.

= = = = = = = = =
注意到：
(b-c) +(c-a) +(a-b) =0.
说明 x=1 是原方程的根.

Answer 1

虽然这个答案不是用标准的判别式做的，但是很好，很有创意。
其实能观察到(b-c) +(c-a) +(a-b) =0说明学生观察力很强，并且得到1是原方程的一个根。
这种技巧在课本里面没有，但是在一些难度大的书里都有，比如一些奥赛或者提高的的辅导书里面都专门提到过，标准表述就是a+b+c=0时，1是原方程的一个根。
说明作者课下是下了功夫的，应该表扬。
小心一点，有些老师看卷子很快的，这种方法会被看不懂或者直接忽略。所以基本用韦达定理直接做是考试首选。
是我的学生的话我会表扬他

Answer 2

由已知，b-c≠0, 即 b≠c.
由韦达定理：（c-a）*(c-a)-4(b-c)*(a-b)=0
(a+c-2b)*(a+c-2b)=0
所以，a+c=2b，a-b=b-c≠0,

a、b、c成等差数列

Answer 3

这道题应该用的是一元二次方程根的判别式等于0来计算，也就是(c-a)²－4×(b-c) ×(a-b)＝0来做，而不是(b-c) +(c-a) +(a-b) =0