Question

证明求证：函数f(x)=x^3-1在R上是单调增函数

算到x1^3-x2^3了，下面怎么分类讨论。。。

Answer 1

分析，用求导法，或定义法

求导法：
证明：f(x)=x³-1
导数f'(x)=3x²≧0，
因此，f(x)在定义域R上是单调递增的函数

定义法：
设x1<x2
f(x1)-f(x2)
=x1³-x2³
=(x1-x2)(x1²+x1*x2+x2²)
=(x1-x2)[(x1+x2/2)²+3x2²/4]<0
即是，f(x1)-f(x2)＜0
因此，f(x)在定义域R上是单调递增的函数

Answer 2

因式分解啊x1³-x2³=(x1-x2)(x1²+x1x2+x2²)=(x1-x2)[(x1+1/2x2)²+3/4x2²]
所以当x1＜x2时，(x1-x2)＜0，(x1+1/2x2)²+3/4x2²＞0，所以f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[(x1+1/2x2)²+ 3/4x2²]＜0即f(x1)＜f(x2)，即f(x)在R上单调递增