Question

高一数学题，求解！！！！带上解题过程

已知函数f(x)=x+m/x，且f(1)=2
判断f(x)在(1，正无穷大)上的单调性，并证明。

这是例题，

Answer 1

【参考答案】

由f(1)=2得 x+(m/x)=1+m=2，
解得 m=1
∴f(x)=x+(1/x)
设1<x1<x2，则
f(x2)-f(x1)
=x2+(1/x2)-x1-(1/x1)
=(x1x2²+x1-x1²x2-x2)/(x1x2)
=[x1x2(x2-x1)-(x2-x1)]/(x1x2)
=(x1x2-1)(x2-x1)/(x1x2)
∵1<x1<x2
∴x1x2>1，即x1x2-1>0
∴x2-x1>0，x1x2>0
∴f(x2)-f(x1)=(x1x2-1)(x2-x1)/(x1x2)>0
即 函数f(x)=x+(1/x)在(1, +∞)上单调递增。

有不理解的地方欢迎追问。。。

Answer 2

证明：设X1、X2在（1，正无穷大）里面，且X2>X1。
因为F(1)=2=1+M/1,故而M=1，则F(X)=X+1/X，
F（X2）—F（X1）=(X2+1/X2)—（X1+1/X1）=(X2—X1)—(1/X2—1/X1)=(X2—X1)(1—1/X2*X1)
而X2>X1，X2—X1>0 ，又X2、X1在（1，正无穷大）内，所以X2*X1>1，而1/X2*X1<1,故而
1—1/X2*X1>0，则(X2—X1)(1—1/X2*X1)>0，推出F（X2）—F（X1）>0，F（X2）>F（X1）。
结论为该函数在（1，正无穷大）内为单调递增函数。

谢谢 求采纳给分

Answer 3

f（1）=1+m/1=2,所以m=1
f（x）=x+1/x
设x1，x2是（1，+∞）上的数且1<x1<x2
f(x2)-f(x1)=x2+1/x2-x1-1/x1=(x2-x1)+(x1-x2)/x1x2=(x2-x1)(1-1/x1x2)
∵1<x1<x2,
∴x1x2>1,1-1/x1x2>0,又x2>x1
f(x2)-f(x1)>0
即f（x2）>f(x1)
所以f（x）在（1，+∞）是增函数

Answer 4

设x1、x2是（1，正无穷大）上任意两个实数，且x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=(x1+m/x1)-(x2+m/x2)=(x1-x2)+(x2-x1)m/x1x2

因为1、x1-x2是常数
2、x1和x2都大于1，所以x1x2>0
3、x2-x1>0
4、依题意，f（1）= 1+m/1 = 2 ,得m=1.
所以 f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(x2-x1)m/x1x2 在（1，正无穷大）是单调递增。
说的比较粗，不过你应该看得懂了。

Answer 5

f(1)=2 所以1+m/1=2 解得m=1 即f（x)=x+1/x 任取 x1 , x2 且1<x1<x2 则f(x1)-f(x2)=(x1+1/x1)-(x2+1/x2)=(x1-x2)+(1/x1 - 1/x2)=(x1-x2)+(x2-x1 / x1*x2)=(x1-x2)*(1 - 1/x1*x2)=(x1-x2)*((x1*x2-1 )/x1*x2) x1-x2<0 x1*x2-1>0 f(x1)-f(x2)<0 所以f（x）递增

Answer 6

先算出m=1
然后和例题一样用X1 X2去比较大小