Question

如图,RT△ABC中,∠ACB=90°,高CD与角平分线AE交于点G,AF=AC,试说明GF‖Bc

图http://b.hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/622762d0f703918f89120dd1513d269758eec4ed.jpg

Answer 1

兹录几例证明方法如下：
(1)因为∠CAG=∠FAG   AC=AF   AG=AG
∴△CAG≅△FAG(SAS)
∴∠ACD=∠AFG
因为∠ADC=∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠ABC(同为∠BAC的余角)
∴∠AFG=∠ABC
∴GF∥BC

(2)连CF,交AE于H,  因AC=AF    ∠EAC=∠EAB
∴AH垂直平分CF,
∴GC=GF,   ∴∠GCF=∠GFC
因为∠CHG=∠ADG=90°, 
∴ ∠DCF=∠HAF(同为∠AFH的余角)
∠HCE=∠EAB(同为∠AEC的余角)
∴∠DCF=∠BCF
∴∠GCH=∠GAD=∠BAC/2=∠GFC
又∠DCB=∠BAC
∴∠BCF=∠DCB/2=∠BAC/2
则∠GFC=∠BCF
∴GF∥BC

(3)连CF,交AE于H,  因AC=AF    ∠EAC=∠EAB
∴AH垂直平分CF,  CG/GD=AC/AD,
∴GC=GF,   ∴∠GCF=∠GFC
因为∠CHG=∠ADG=90°, 
∴ ∠DCF=∠HAF(同为∠AFH的余角)
∠HCE=∠EAB(同为∠AEC的余角)
∴∠DCF=∠BCF,∴BF/FD=BC/CD
因为CD是RT△ACB的高，
∴△ACD∼△CDB
∴AC/AD=BC/CD
∴CG/GD=BF/FD
∴GF∥BC

(4)延长FG交AC于K,连CF,交AE于H,
因AC=AF    ∠EAC=∠EAB
∴AH垂直平分CF,
又CD⊥AB,∴G是△ACF的垂心，∴FK⊥AC
又BC⊥AC,
∴GF∥BC

Answer 2

把图画标准一点，就很容易看懂了。

因为 AE是角平分线，AC=AF，所以 图中两个黄色的△是全等的，

则有 ∠1=∠2

因为 CD是RT△斜边上的高，根据互余关系，得到 ∠1=∠B

所以 ∠2=∠B

所以 GF//BC

Answer 3

连接CF交AE与O、 连接 EF 易证△ACE全等于△AFE 且易得 CG=DF 、CE=EF
∴∠EFB=90° ∴DC∥EF ∠DCF=∠EFC 又∵∠ECF=∠EFC 、∠DCF=∠DFC（∵CG=DF 、CE=EF）所以∠ECF=∠DFC ∴GF∥BC