Question

在棱长为1的正方体上ABCD---A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,F是棱CD的动点(1）确定F位置使D1E垂直于平面AB1F

(2)当D1E垂直于平面AB1F时，求二面角C1-EF-C的余弦值。一定要用坐标系证，我很急拜托帮帮忙

Answer 1

解：（1）连结A1B，则A1B是D1E在面ABB1A内的射影
∵AB1⊥A1B，
∴D1E⊥AB1，
于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF
连结DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影
∴D1E⊥AFDE⊥AF
∵ABCD是正方形，E是BC的中点
∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，
即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F。
（2）当D1E⊥平面AB1F时，由（1）知点F是CD的中点
又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD
连结AC，设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连结C1H，
则CH是C1H在底面ABCD内的射影
C1H⊥EF，即∠C1HC是二面角C1-EF-C的平面角
在Rt△C1CH中，∵C1C=1，CH=1/4AC=根号2/4,CF=3根号2/4
cos∠C1HC=CH/C1F=1/3