Question

如图,已知四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点

求证(1)：MN⊥AB
(2)：若PA=AD，求证MN⊥平面PCD

Answer 1

证明

(1)

取PB中点Q，连接NQ,MQ

∵Q是PB中点，M是AB中点

∴MQ//PA

∵N是PC中点

∴NQ//BC

∵PA⊥面ABCD

∴PA⊥AB

∴MQ⊥AB

∵ABCD是矩形

∴AB⊥BC

∴AB⊥NQ

∴AB⊥面MNQ

∴AB⊥MN

（2）

取PD中点R,连接AR,NR

∵AB//CD

∴MN⊥CD

NR//=AM

∴AMNR是平行四边形

∴MN//AR

∵PA=AD

∴AR⊥PD

∴MN⊥PD

∴MN⊥面PCD

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