Question

设二次函数f（x）满足f（x-2）=f（-x-2）,且图像在y轴上的截距为1，在x轴上截得线段长为

设二次函数f（x）满足f（x-2）=f（-x-2）,且图像在y轴上的截距为1，在x轴上截得线段长为2，f（x）解析式为

Answer 1

既然是二次函数,设为f(x)=ax^2+bx+c.（a!=0） (!=表示＂不等于＂)
根据题意可列出方程:
(1)在y轴上的截距为1,即x=0时，f(x)=ax^2+bx+c=a*0+b*0+c
＝c
=1,
则: c=1()(实际上对截距的概念熟悉的话很容易知道在y轴上的截距就为c)
(2)被x截得的线段长为2√2可以看作相对应的方程的两根差为2√2，可以列方程：x2-x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a-[-b-√(b^2-4ac)]/2a
=√(b^2-4ac)]/a=2√2 （显然a>0）
为了计算方便，先把c=1代入式子再化简单，
(b^2-4a)/a^2=8......(1)
(3)二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),那么：
a（x-2）^2+b（x-2）+c＝a（-x-2）^2+b（-x-2）+c,化简，
ax^2-4ax+4a+b（x-2）+c=ax^2+4ax+4a+b（-x-2）+c
即8ax=2bx,因为此式子恒等，不论x=0否，那么
b=4a,
将b=4a代入式子（1）
(4a)^2-4a=8a^2,即8a^2－4a=0,得到a=1/2或a=0,显然a!=0(二次函数所以a不等于0)，那么b=2,
a=1/2,b=2,c=1,
f(x)=1/2x^2+2x+1.