Question

设函数f（x）对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时f（x）＜0，f（1）=-2．

1）求f（0）；
（2）证明f（x）是奇函数；
（3）试问在x∈[-3，3]时f（x）是否有最大、最小值？如果有，请求出来，如果没有，说明理由；

Answer 1

（1）首先判断f(x)增减性
任取t>0
有f(x+t)=f(x)+f(t),也就是说f(x+t)-f(x)=f(t)
根据题意t>0时f(t)<0
所以f(x+t)-f(x)<0，显然x+t>x
那么就可以得出结论f(x)在定义域内递减
也就是说f(3)是f(x)最小值，f(-3)是f(x)最大值
f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=-2+(-2)+(-2)=-6
因为f(x)是奇函数，所以f(-3)=-f(3)=6
所以f(x)在【-3，3】上的最大值是f(-3)=6,最小值是f(3)=-6