Question

■求数学高手！！！求定积分∫f（x）dx,积分区间为［-1,1］,其中f（x）表达式为:①当x∈［

■求数学高手！！！求定积分∫f（x）dx,积分区间为［-1,1］,其中f（x）表达式为:①当x∈［-1,0）时为2x-1,②当x∈［0,1］时为e∧(-x)。现在要求不得使用积分区间的可加性来求此积分，必须使用牛顿莱布尼茨公式直接计算，即=F（1）-F（-1）,那么这时候的F（x）应选取怎样的函数呢？

Answer 1

F(x)是分段函数，当x∈[-1,0)时，F(x)=x^2-x，当x∈[0,1]时，F(x)=x^2-x-e^(-x)+1,然后就有
F(1)=-1/e+1，F(-1)=2，于是∫f(x)dx=F(1)-F(-1)=-1/e-1
是这样的吗？

追问

应该是这样吧 谢谢！

追问一句，为什么当x∈[0,1]时，F(x)=x^2-x-e^(-x)+1,不明白为什么后面多加了一个1

追答

f(x)在两段内的不定积分分别为x^2-x+C1和-e^(-x)+C2，C1、C2为常数；
当x∈[-1,0)时，F(x)=x^2-x+C1；
当x∈[0,1]时，F(x)等于两个不定积分的和（定积分就是累计求和），即F(x)=x^2-x+C1-e^(-x)+C2，∵F(x)在区间[-1,1]上可导，所以连续，在x=0处就有x^2-x+C1=x^2-x+C1-e^(-x)+C2
∴C2=1，然后C1任取一值（此处取0）就得到上面的分段函数F(x)。

追问

嗯 谢谢了！

可以再问你一个题目吗？设f在［a,b］上二阶可导，且f''（x）≥0,若f（x）≤0,x∈［a,b］,证明则有f（x）≥2/（b-a）∫（上为b,下为a）f（x）dx

追答

抱歉前面的回答是错的。当x∈[0,1]时，F(x)=-e^(-x)+1，不用加第一个不定积分，我误用了定积分求和的概念，真是抱歉啊！
不过后面的解题思路没问题，即由原函数在x=0连续求得C2=C1+1，取C1=0就行了

追问

嗯 知道了 没事 那第二个问题怎么做呢？

追答

试过了，水平不济，证不出来，不好意思

追问

太客气了，O(∩_∩)O

Answer 2

分2段积分，求和

追问

看题目，要求不能使用分段求和

追答

这个函数的原函数F(X)能用级数展开么?诶,我帮不了你了,我才高三...