Question

已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左顶点和右焦点分别为A,F,右准线为直线m，圆D：x2+y2-6y-4=0

（1）若点A在圆D上，且椭圆C的离心率为√3/2，求椭圆C的方程（2）若直线m上存在点Q，使△AFQ为等腰三角形，求椭圆C的离心率的取值范围（3）若点P在（1）中的椭圆C上，且过点P可做圆D的两条切线，切点分别为M,N，求弦长MN的取值范围

Answer 1

1)圆的方程可化为x^2+(y-3)^2 = 13，它与x负半轴交点即为A(-2，0)，又椭圆离心率e=√3/2=c/a
∴c^2/a^2=3/4，∴a^2=4b^2，代入椭圆方程解得b^2=1，a^2=4
椭圆方程为：(x^2/4) + y^2 = 1
2)因为m在线段AF右侧，所以要使得△AFQ为等腰三角形，只能由F作为该等腰三角形的顶点，
即有：FA=FQ，令m与x轴交点为E，则有FQ》FE
依照椭圆定义，FA=FQ=a+c，FE=(a^2/c)-c，∴a+c》(a^2/c)-c，∴ac+c^2》a^2-c^2
∴2c^2+ac-a^2》0，即(c+a)(2c-a)》0，结合0<e=c/a<1可得离心率e范围：[1/2，1)
3)判断圆和椭圆的位置关系：
由1)，y轴是二者共同的对称轴，且圆过椭圆长轴2顶点，因此椭圆上半部在圆内，∴点P在椭圆下半部(不含长轴顶点)。设圆心为K，弦长MN=d
因为PM、PN是圆的切线，∴PM=PN，又∵KM=KN=半径，且KM⊥PM、KN⊥PN，
∴PK·MN/2=S四边形PMKN=(PM·KM/2)+(PN·KN/2)，即PK·MN=2PM·KM=PM·2√13
即PK^2·d^2 = 52·PM^2=52·(PK^2-13)，∴d^2=52[1 - (13/PK^2)]，故d的范围取决于PK的范围，
令P(2cosα，sinα)，易知K(0，3)
∴PK^2 = 4(cosα)^2 + [(sinα) - 3]^2 = 4 - 4(sinα)^2 + (sinα)^2 - 6sinα + 9
=13 - 3(sinα)^2 - 6sinα
= -3[(sinα)+1]^2 + 16
∵-1《sinα《1，∴4《PK^2《16，但∵P在圆外，∴PK^2>R^2=13
∴13/16《13/PK^2<1，∴0<1 - (13/PK^2)《3/16，∴0<d^2《39/4，即0<MN^2《39/4
∴弦长MN(MN>0)的范围是：0<MN《(√39)/2

追问

兄弟不好意思，他的比你的写得清楚，所以就……不好意思哈
还有第2问 FQ》FE 不是不可以相等的么？？求解释

Answer 2