Question

如图在△ABC中,AD平分∠BAC,DE‖AC,EF⊥AD交BC延长线于点F.求证:∠FAC=∠B

如图

Answer 1

证明：因为角EAD=角CAD，（AD平分角BAC）
又：角EDA=角DAC，（DE//AC）

所以，角EDA=角DAE
又：EF垂直于AD
所以，EF是AD的垂直平分线,
∴FD=FA,(垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)
∴∠ADF=∠DAF,(在一个三角形中,等边对等角)
又∵∠ADF=∠BAD+∠B,(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∴∠DAF=∠BAD+∠B,
∵∠DAF=∠DAC+∠FAC,
∴∠DAC+∠FAC=∠BAD+∠B,
∵AD是角平分线,
∴∠DAC=∠BAD,
∴∠B=∠FAC;

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Answer 2

AED为等腰三角形,EF垂直于AD，所以EF为AD中垂线，可推出AF=DF，角ADF=角AFD

角ADF=角B+角BAD
角AFD=角DAC+角FAC

其中角BAD=角DAC
因此角B=角FAC