Question

导数与零点的问题

已知函数f（x）=1+x-x²/2+x³/3-……+x^2013/2013,g(x)=1-x+x²/2-x³/3+……-x^2013/2013，设F(x)=[f(x)+3]*[g（x)-4]（注意这里是g(x)-4）,且方程F（x）=0的实数跟均在【a,b】（a＜b，a,b∈Z）内，则b-a的最小值为？是
我用画图和根据 f(x)+g(x)=2 以及f(x)和g(x)的零点解的貌似是9 ，不知道正确应该如何解答

Answer 1

F(x)=[f(x)+3]*[g（x)-4]=0

f(x)+3或g(x)-4=0
∴F(x)的零点即是f(x)+3的零点以及g(x)-4的零点

f（x）=1+x-x²/2+x³/3-……+x^2013/2013,
f'(x)=1-x+x²-x³+...........-x^2011+x^2012
f'(-1)=2013>0
当x≠-1时，
f'(x) =[1-(-x)^2013]/(1+x)=（1+x^2013)/(1+x)
若x>-1,1+x>0,1+x^2013>0,f'(x)>0
若x<-1,1+x<0,1+x^2013<0,f'(x)>0
总有f'(x)>0
∴f(x)是增函数
f(0)=1>0
f(0)+3>4>0
f(-1)=1+(-1)-1/2-1/3-……-1/2013
=-(1/2+1/3+......+1/2013)
<-3
∴f(-1)+3<0
∴f(x)+3的零点在(-1,0)内

g(x)=1-x+x²/2-x³/3+……-x^2013/2013，
g'(x)=-1+x-x²+.....+x^2011-x^2012=-f'(x)
∴g(x)是减函数
g(0)=1
g(0)-4=-3<0
g(-1)=1+1+1/2+1/3+.....+1/2013>5
g(-1)-4>1>0
∴g(x)-4的零点在(-1,0)内
若方程F（x）=0的实数跟均在【a,b】（a＜b，a,b∈Z）内，
则b-a的最小值1

1/2+1/3+1/4>1
1/5+1/6+1/7+1/8>1/2
1/9+1/10+.......+1/18>5/9>1/2
1/19+1/20+.....+1/38>20/38>1/2
1/29+1/30+.....+1/58>30/58>1/2
..................................................

.∴1/2+1/3+1/4+.....+1/2013>3

追问

不好意思，我题目写错了。。 是 F（x)=f(x+3)*g(x-4)

追答

这就容易多了，害我算了半天，
f(0)=1.f(-1)=0
g(2)=(4/2-8/3)+(16/4-32/5)+.....+(2^2012/2012-2^2013/2013)<0
g(x)零点在(1,2)内
g(x)向右平移4个单位得到g(x-4)
所以g(x-4)零点在(5,6)
所以F(x)有2个零点，一个在(-4,-3),一个在(5,6)
b-a的最小值为10