Question

高一数学题:已知函数f(x)=(x^2+a)/x,且f(1)=2

(1)判断并证明函数f(x)在其定义域上的奇偶性
(2)证明函数f(x)在(1,正无穷)上是增函数

Answer 1

(1)
f(-x)=(x^2+a)/(-x)=-f(x)
定义域(-无穷,0)U(0,+无穷)
所以f(x)为奇函数
(2)
f(1)=(1+a)/1=2解得a=1
所以f(x)=(x^2+1)/x=x+1/x
是对构函数：
当x>0时，f(x)min=f(1)
当(0,1)时，单减
当(1,+)时，单曾

或者根据定义法也可以得到。

Answer 2

（1）定义域为x不等于0 f(-x)=(x^2+a)/(-x)=-f(x),为奇函数,
（2）f(1)=2,a=1
设x2>x1>1,则f(x2)-f(x1)=x2-x1>0,所以得证