Question

已知：如图，锐角△ABC的两条高CD、BE相交于点O，且OB=OC．

已知：如图，锐角△ABC的两条高CD、BE相交于点O，且OB=OC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）连接AO，判断AO与BC的位置关系，并说明理由．

Answer 1

∵OB=OC，

∴△OB C是等腰三角形，

∴∠OBC=∠OCB。

∵BE⊥AC，CD⊥AB，

∴∠BEC=∠CDB=90°，BC=BC。

∴△BEC≌△CDB。

∴∠ABC=∠ACB..。

∴△ABC是等腰三角形。

（2）

∠BOE=∠COD 对顶角

∠BE0=∠CDO=90°
∴∠EBO=∠DCO
又OB=OC
则△EOB≌△DOC
∴有BE=CD OE=OD
∴BD=CE
类似可知△ABD≌△CEA
∴AB=AC AE=AD
延长AO交BC于F

由AE=AD，OE=OD，OA=OA 知△AEO≌△ADO
∴∠BAO=∠CAO
由∠BAF=∠CAF AB=AC AF=AF知△BAF≌△CAF
∴∠AFB=∠AFC

∠AFB+∠AFC=180°

∴∠AFB=∠AFC=90°
∴AF⊥BC（AO⊥BC