Question

如图所示，P为角AOB的平分线上一点，PC垂直OA于C，角OAP加角OBP=180度，若OC=4c

如图所示，P为角AOB的平分线上一点，PC垂直OA于C，角OAP加角OBP=180度，若OC=4cm，求AO+BO的值。

Answer 1

如图，做PD⊥OB
角OAP+角OBP=180度
角OBP+角PBD=180度
所以 角OAP=角PBD
也就是 角PAC=角PBD
又角PDB=角PCA=90度
所以角DPB=角CPA
因为 OP为角AOB的角平分线
所以 PC=PD ,OC=OD
在三角形PBD与三角形PAC中，
角PDB=角PCA，PC=PD，角DPB=角CPA
所以 三角形PBD与三角形PAC全等 （ASA)
所以BD=AC
AO+BO=OC+CA+BO=OC+BD+BO=OC+OD=2OC=8cm

Answer 2

证明 ：做PD垂直OB于点D
∵∠OAP+∠OBP=180°
∵∠DBP+∠OBP=180°
∴∠OAP＝∠DBP
∴ P为∠AOB的平分线上一点
∴PC=PD且∠PCA＝∠PDB=90°
∴△PCA≌△PDB
∴AC=BD
∵OP=PO
∴Rt△ODP≌Rt△OCP
∴OD=OC
∴AO+BO=OC+CA+OB=OC+DB+OB=OD+OC=4+4=8cm