Question

已知,如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE⊥AC于点E,BE与CD相交于点F，求证：BF=AC

Answer 1

分析：
由已知条件“∠ABC=45°，CD⊥AB”可推知△BCD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质知：∠DCB=∠ABC=45°、DB=DC；然后由已知条件“BE⊥AC”求证∠ABE=∠ACD；再利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出BF=AC．

解答：
证明：∵CD⊥AB，
∴∠BDC=∠CDA=90°；
∵∠ABC=45°，
∴∠DCB=∠ABC=45°（三角形的内角和定理），
∴DB=DC（等角对等边）；
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°（直角三角形的两个锐角互为余角）；
∵∠CDA=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ABE=∠ACD（同角的余角相等）；
在△BDF和△CDA中，

∠BDC＝∠CDA
DB＝DC
∠ABE＝∠ACD，
∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴BF=AC（全等三角形的对应边相等）．

Answer 2

证明：∵CD⊥AB，且∠ABC=45°
∴BD=CD
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC=∠AEB=90°
同时：∠ABE=∠ABE
∴△BDF∽△ADE
∴∠A=∠DFB
∴△BDF≌△ACD(角角边定理)
可证明:BF=AC