Question

考研数学 数列极限问题

若数列Xn与Yn满足
lim(n趋近于无穷)XnYn=0则
A.若Xn无界，则Yn必有界
B.若1/Xn是无穷小，则Yn必为无穷小

求大家帮忙！为什么我觉得都对啊……而且举不出反例来！

谢谢了！

Answer 1

　　A. 不选。有反例为证：Xn = n[1+(-1)^n]，Yn = n[1-(-1)^n]，都是无界的，但
　　　　XnYn = (n^2)[1-(-1)^(2n)] = 0，
当然有
　　　　lim(n→inf.)XnYn = 0。
　　B. 选。事实上，因 1/Xn 是无穷小，知 Xn 是无穷大，因此，存在 N1∈Z+，使对任意 n0>N，有
　　　　|Xn| >= 1；
若 Yn 非无穷小，即存在 M>0，对任意 N∈Z+，存在 n0>N，使 |Yn0| >= M。因此，对任意 N∈Z+：N>=N1，存在 n0>N，使
　　　　|Xn0Yn0| >= |Xn0||Yn0| > M*1 = M，
与
　　　　lim(n→inf.)XnYn = 0
矛盾。

Answer 2

B
A的反例：Xn=0,1,0,2,0,3...
Yn=1,0,2,0,3,0...

Answer 3

楼上说的A的反例：Xn=0,1,0,2,0,3...
Yn=1,0,2,0,3,0...是对的
这说明A是错的
这道题B是对的Yn只能是无穷小