Question

一道初三的数学题

如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（a，0）（a＞0），B（2,3），C（0,3）。过原点O做直线l，使它进过第一、三象限，直线l与y轴的正半轴所成角设为s，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为FZ[s,a]。例如：若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ[45°,3]；
【尝试】
⑴若点D恰为AB的中点（如图2），求s；
⑵经过FZ[s,a]操作，点B落在点E处（如图3），若点E在四边形OABC的边AB上，求出a的值；若点E落在四边形OABC的外部，直接写出a的取值范围；
【探究】
⑶经过FZ[s,a]操作后，作直线CD交x轴于点G，交直线AB于点H，使得△ODG与△GAH是一对相似的等腰三角形，请求出FZ[s,a]。

（没找到图就手绘了一幅……）

Answer 1

（1）D的坐标（（a+2）/2, 3/2）
过D向x轴作垂线为F 且已知OD为3
三角形OFD为直角三角形，利用勾股定理可以求出a的值为-2+3倍根号3
那么D的坐标就已知了 利用两点间距离公式求出DC的长度为3
所以三角形OCD为等边三角形
L为平分线 所以S=30度
（2）差不多的思路 它已经提示你了 E在AB上就是在AB外的一个临界条件了
需要输入的太多了

Answer 2

（1）连接CD并延长，交x轴于点F．

在△BCD与△AFD中，

∵∠bdc=∠ adf   bd=ad    ∠cbd=∠fad

∴△BCD≌△AFD（ASA）．

∴CD=FD，即点D为Rt△COF斜边CF的中点，
∴OD=CD．

又由折叠可知，OD=OC，
∴OD=OC=CD，
∴△OCD为等边三角形，∠COD=60°，
∴s=30°

（2）经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，则点D落在x轴上，AB⊥直线l，

若点E在四边形0ABC的边AB上，
由折叠可知，OD=OC=3，DE=BC=2．
∵AB⊥直线l，s=45°，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴AD=DE=2，
∴OA=OD+AD=3+2=5，
∴a=5；

∴当0＜a＜5时，点E落在四边形0ABC的外部．

【探究】
FZ[30°，2+√3]，FZ[60°，2+3√3]．

如答图3、答图4所示．