Question

一题高一数学复合函数题。(求解题思路和依据)

若函数f[g(x)]=6x+3，且g(x)=2x+1，则f(x)等于？有两种方法:① f[g(x)]=6x+3=3(2x+1)=3g(x) 故f(x)=3x② 令g(x)=2x+1=u,那么x=(u-1)/2 把它们带入f[g(x)]=6x+3得f(u)=6*(u-1)/2+3=3u,把u换成x,即f(x)=3x请问:这两种解题方法的思路和依据是什么?特别是第二种想不通,为啥u就是x呢?u不是等于2x+1么?请您解惑,谢谢!

Answer 1

1、第一种方法是拼凑，注意到 6x+3=2(2x+1) ，而 2x+1 恰是 g(x) 。这是比较简单的，能一眼看出这种关系。对稍微复杂些的题，不能直接看出前后联系的，这种方法就失效了。因此只能算是投机取巧了。

2、第二种方法是变量代换，目的跟第一种方法一样（第一种是直接看出前后的联系，第二种是假设没有直接看出它们的联系，这在实际问题中是最常见的）都是为了寻求 f(x) 与 x 的关系。但这种方法是普遍的，朴素的，也是通用的，是解决这类问题的有效方法。
3、对于最后 u 变成 x 的问题，此时不把 u 看作是前面的 2x+1 ，而是把它看作是单独的一个量，代表任意实数，而 x 也可以代表任意实数，况且函数自变量通常都用 x 表示，所以就把 u 换成了 x 。这不是等量代换，而是字母代换。（f(u)=3u 与 f(x)=3x、f(s)=3s 等都是同一函数）。

追问

您的回答很精彩,还有个疑问,这样:f(2x+1)=6x+3,按我对函数的理解右边的x应该看成一个函数即2x+1,就是说右边的x也是2x+1,但实际上左右的x是一样的,比如,x=2时,左边,2*2+1=5,自变量应该是5,那么右边的x也应该是5,即函数值为6*5+3=33,未完,见评论

追答

在同一个式了中，x 的值是一样的。f(2x+1) 中 x=2 ，后面 6x+3 中的 x 也是 2 ，不是 5 。
在 f(2x+1)=6x+3 中，取 x=2 得到的是 f(2*2+1)=6*2+3 ，也就是 f(5)=15 。
那个 6*5+3=33 是取 x=5 得到的，写出来是 f(2*5+1)=6*5+3 ，也就是 f(11)=33 。

Answer 2

关于第二问我想反问你一个问题
一个是f(t)=3t (t是时间)
一个是f(s)=3s (s是路程)
它们在函数形式上与f(x)=3x有区别吗?