Question

数学分析复旦版数列极限例题困惑

1，证明数列n/n+3的极限为1的那道例题，我感觉他只是找到了要取到数列的极限，需要怎样的n，而不是证明的数列取到极限时极限是1，譬如，我直接n/n+3 -2的绝对值=n+6/n+3＜ε则，依然可以解得一个n的范围（可能需要讨论1与ε，但是只是麻烦了点），也就是说依然可以解得N的范围，那也可以说他的极限是2？？？2，如何证明n的k/n次方的极限=1?就是例题2.2.4底下的问题3。，（7n+2)/2n(2n-7)为何显然当n＞6时小于8n/2n�0�5？我需要的是如何想到的，也就是思路以上的问题，我知道该具体的步骤了，只是思路上有些疑问，也就是如上问题，你们不需要列出完整的步骤，只是给我将思路中的误区指出即可！本人刚刚学数分，是金融系的，希望给予本人指引，无比感谢！

Answer 1

1.由于ε真正起作用的是非常小的数，我们一开始就可以限制0＜ε＜1，我带楼主解一解吧：
|n/(n+3)-2|=（n+6)/(n+3)，解 （n+6)/(n+3)＜ε，
我把解的过程也写下吧：n+6＜nε+3ε
∴（1-ε）n＜3（ε-2）
∴n＜（3ε-6）/（1-ε）。
请注意，数列的极限是当n趋于无穷时，数列的值。
ε-N语言是：任意ε＞0，存在N∈N*，任意的n＞N（请注意是大于）。有|an-a|＜ε。
2、证明n^k/n的极限是1，实质就是证明n^(1/n)的极限是1.
下面我给出n^（1/n）的极限是1的证明过程：
证明：任意n∈N*，有n√n（这个表示n的n次方根），有n√n≥1.令n√n-1=bn，bn≥0.从而n=（1+bn）^n，由二项式定理，有
n=（1+bn）^n=1+nbn+n（n-1)/2!bn�0�5+...+bn^n≥n（n-1)/2bn�0�5，1≥（n-1)/2bn�0�5，或任意的n≥2，有
0≤bn≤√（2/（n-1)）≤2/√2（因为√（2n）≤2√（n-1)）。
由两边夹定理知：
limbn=lim（n√n-1）=0
n→∞ n→∞
即：lim n√n=1

3、其实这个也没什么，只是为了方便算N的范围，我是这么想的，当n→∞的时候，2n-7和2n是无区别的，但是放缩的话，分母却变大了，所以自然会想到在分子上加点，随便写个8n，然后再解不等式求出n的范围即可，如果你喜欢你也可以算分母是9n，10n啥的n的范围都可以的，

我也是数学系的，数学与应用数学的，只不过我不是金融的。