Question

已知圆O的半径为1，PA PB为该圆的两条切线，A.B为两切点，那么向量PA·向量PB的最小值是多少？

请问：这是哪年的哪里的高考题？怎么解？（题目无图）悬赏20分！

Answer 1

解：设PA与PO的夹角为a，则|PA|=|PB|= 1tanα
y=PA→�6�1PB→=|PA→||PB→|COS2α
= 1(tanα)2�6�1cos2α= cos2αsin2α�6�1cos2α
= 1+cos2α1-cos2α�6�1cos2α
记cos2a=u．则 y=u(u+1)1-u=(-u-2)+21-u= -3+(1-u)+21-u
≥-3+22
即 PA→�6�1PB→的最小值为 -3+22
故答案为： -3+22

2010全国卷考题

希望采纳

Answer 2

当PA与PB垂直时，向量PA与向量PB的乘即为 0

Answer 3

主要考察向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考察最值的求法——判别式法，同时也考察学生综合运用数学知识解题的能力及运算能力。
图中第一步需要解释的有两点
第一点。向量公式：向量a·向量b=|a|�6�1|b|�6�1cos〈a,b〉(夹角）
第二点。PA=PB的原因：A，B为切点所以得到 ∠PAO ∠PBO为直角
△PAO △PBO 为直角三角形 且全等（相同斜边 相等的直角边）
或者切线长定理 ：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
②三角形的余弦定理,例如三角形ABC中，A为内角，abc为对应的边，cosA=(b+c-a)/2bc
③∵|PA|=|PB| ∴|PA|的平方可与分子PA�6�1PB约去，分母为2PA-AB
④勾股定理：PA=OP-OA,OA=R=1
设直线AB与X轴的交点为M，有 AM=OA-OM=1-d，AB=2AM
⑤化简④，再用均值不等式，公式：a+b≥2ab
⑥OA=d�6�1OP 射影定理
其实可以这样写，更加清楚
设PA=PB=X（x＞0），∠APO=α，则∠APB=2α，有勾股定理得PO=根号（1+x^2），
sinα=1/根号（1+x^2），
向量PA·向量PB=|PA|·|PB|cos2α=x^2（1-sin^2α）=/1+x^2=（x^4-x^2）/（1+x^2），令向量PA·向量PB=y，则y==（x^4-x^2）/（1+x^2），
即x^4-（1+y）x^2-y=0，由x^2是实数∴△=^2-4×1×（-y）≥0，y^2+6y+1≥0
解得y≤-2√2-3或y≥-3+2√2
故（向量PA·向量PB）min=-3+2√2