已知，3sinb=sin（2a+b），求证：tan（a+b）=2tana
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3sinb=sin(2a+b)可得sin(2a+b)-sinb=2sinb
由两角正弦差的公式： sin(2a+b)-sinb=2cos[(2a+b+b)/2]sin[(2a+b-b)/2]=2cos(a+b)sina
因此：cos(a+b)sina=sinb，即：cos(a+b)=sinb/sina
则：sin(2a+b)=sin[a+(a+b)]=sinacos(a+b)+cosasin(a+b)……（1）
将sin(2a+b)=3sinb，cos(a+b)sina=sinb代入等式（1）：
3sinb=sinb+cosasin(a+b)，因此sin(a+b)=2sinb/cosa
则：tan(a+b)=sin(a+b)/cos(a+b)=(2sinb/cosa)/(sinb/sina)
=2(sinb/cosa)*(sina/sinb)=2sina/cosa=2tana
由两角正弦差的公式： sin(2a+b)-sinb=2cos[(2a+b+b)/2]sin[(2a+b-b)/2]=2cos(a+b)sina
因此：cos(a+b)sina=sinb，即：cos(a+b)=sinb/sina
则：sin(2a+b)=sin[a+(a+b)]=sinacos(a+b)+cosasin(a+b)……（1）
将sin(2a+b)=3sinb，cos(a+b)sina=sinb代入等式（1）：
3sinb=sinb+cosasin(a+b)，因此sin(a+b)=2sinb/cosa
则：tan(a+b)=sin(a+b)/cos(a+b)=(2sinb/cosa)/(sinb/sina)
=2(sinb/cosa)*(sina/sinb)=2sina/cosa=2tana
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