Question

一道数学题 解答下 ：设数列{xn}有界，又lim yn=0，证明lim xnyn=0 希望解答详细些 我在预习、、

Answer 1

因为lim yn=0
所以 对任意的ε1>0，存在N1，使n>N1时，有 |yn|<ε1
又{xn}是有界的，所以存在正整数M，使 |xn|<M
于是对于ε>0，取ε1=ε/M，N=N1，则当n>N时，
有|xnyn|=|xn|*|yn|<M*ε1=ε
从而 lim xnyn=0

Answer 2

{xn}有界 设界为k 用有界的定义；任意ε1>0，存在N当n>N时有|Xn-K|<ε1;
又lim yn=0 用极限的定义；任意ε2>0，存在M当n>M时有|yn|<ε2;
取G=max（M N） ε=2max(ε1 ε2);则当n>G时有|xnyn|<(ε1+1)*ε2<ε
注意：这题直观一点就是有界跟无穷小相乘还是无穷小，这里的ε还可以自己令 我只是为了书写方便。

Answer 3

先证明极限存在
由Xn有界，所以存在常数M>0有
|Xn|<M
由于Yn趋于0，所以有
对任意的e>0,存在自然数N，当n>N时
|Yn - 0| =|Yn|< e/M

所以有当n>N时
|XnYn - 0| = |Xn||Yn|<M|Yn|<M * e/M =e

由极限定义有 Xn*Yn趋于0

Answer 4

数列{xn}有界，存在M>0，使|xn|≤M，
即 -M≤xn≤M，
-M|yn|≤xn|yn|≤M|yn|,
lim(-M|yn|)≤limxn|yn|≤limM|yn|
0≤limxn|yn|≤0
所以limxn|yn|=0.
所以limxnyn=0