Question

设A为三阶实对称矩阵，且矩阵E+A 2E+A 3E-A 都不可逆……

设A为三阶实对称矩阵，且矩阵E+A 2E+A 3E-A 都不可逆，则二次型x^TAx经正交变换x=Py化成的标准形是？答案是 3y1^2-y2^2-2y3^2 我算出来的是：-y1^2-2y2^2+3y3^2

我的做法是，因为都不可逆所以：|-E-A|=0 |-2E-A|=0 |3E-A|=0 所以：γ1=-1 γ2=-2 γ3=3

难道是说，标准形必须正的在前，负的在后？还是说这两个答案都对？

谢谢！

Answer 1

e-a,e+a,2e+a都不可逆,则行列式均为零，|e-a|=|e+a|=|2e+a|=0，a的特征值为1，-1，-2，a为三阶实对称矩阵，因此可对角化为对角阵对角线元素为1，-1，-2，标准型为y1^2-y2^2-2y3^2

Answer 2

这两个答案本质是一样的，都对。

追问

是不是说，标准形无所谓正的在前负的在后，但规范形就必须是正的在前，负的在后？