Question

【高等数学】试确定以下无穷小对于x的阶数

Answer 1

使用等价无穷小：x→0时，e^x-1等价于x，ln(1+x)等价于x。
lim ((cosx)^x-1)/x^k
=lim (e^(xln(cosx)-1)-1)/x^k
=lim xln(cosx)/x^k
=lim x(cosx-1)/x^k
=lim x(-1/2×x^2)/x^k
=lim (-1/2×x^(3-k))
要保证极限非零，需要3-k=0时，即k=3。
所以x→0时，(cosx)^x-1是x的3阶无穷小。

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你的ps有错误，那个“常数”应是“非零常数”。

Answer 2

y=(cosx)^x=e^[xlncosx]
y'=e^[xlncosx](lncosx-xtanx)
lim(y-1)/x^k (罗比达法则：
=limy'/(kx^(k-1))
=lim(lncosx-xtanx)/(kx^(k-1)
=lim(-tanx-tanx-x(secx)^2)/[k(k-1)x^(k-2)]
=lim(-2tanx-x(secx)^2)/[k(k-1)x^(k-2)]
=lim(-sin2x-x)/[k(k-1)x^(k-2)]
=lim(-2cos2x-1)/[k(k-1)(k-2)x^(k-3)]
当k=3时，极限为常数
即：(cosx)^x-1是x的3阶无穷小

Answer 3

考察函数的泰勒展式即可。
对 (cosx)^x多次求导，直到得到的导数在x=0处不为0为止。
(cosx)^x的求导可先对其取对数。