Question

高中函数：已知函数f(x)=(x-k)^2(e^x/k)

已知函数f(x)=(x-k)^2(e^x/k)(1)求f(x)的单调区间
(2)若对于任意x属于(0,+无穷大),都有f(x)≤1/e,求k的取值范围

Answer 1

(1) 对f(x)求导 f(x)'=(e^(x/k)/k)(x-k)(x+k)
令f(x)'=0;得x1=k,x2=-k两个驻点，这里恰好也为极值点;
当k>=0时,单调区间(-∞,-k]∪(k,+∞)单调递增;（-k,k]单调递减
k<0时单调区间(-∞,k]∪(-k,+∞)单调递减;（k,-k]单调递增

(2) 对任意x>=0都有f(x)<=1/e也就是说在此区间内f(x)的最大值<=1/e
由（1）知,对x>=0可以分两类情况讨论
a)k>0时，(k,+∞)单调递增[0,k]单调递减
需要比较端点值(因为x=k是极小值点)
f(0)=k^2;f(+∞)-->+∞不满足条件
b)k<0时，(-k,+∞)单调递减，[0,-k]单调递增
只需考虑f(0)（因为x=0是极大值点）
f(0)=k^2<=1/e
解得-(1/e)^(1/2)<=k<0

Answer 2

两边求导 得
f'(x)=(2(x-k)+((x-k)^2)/k)*e^x/k=(x-k)(x+k)/k*e^x/k
令f'(x)=0;得x=k或x=-k
当k>0时，则在[k，∝）上是增函数，<2>又f(x)>=0;
故必有f(x)>1/e
所以k<0
则f(x)在x=-k处取极大值f(-k)=4e*k^2<1/e
得-1/2e<k<0

Answer 3

f(x)=(x^2-2kx+k^2+1)/(x-k)，有x-k≠0，即x≠k，又x∈（0,+∞）故k≤0又f(x)=(x^2-2kx+k^2+1)/(x-k)=[（x-k）^2+1]/(x-k)=x-k+1/(x-k)f'(x)=1-1/(x-k)^2，令f'(x)=0,即(x-k)^2=1，得x=k±1此时，f(x)=±2,函数f(x)是双勾函数，则要k+1>0，k-1<0,即k>-1,k<1又k≤0，故-1<k≤0

Answer 4

1)k=0,
f(x)=e^x-x
f'(x)=e^x-1=0-->
x=0
f(0)=1为极小值点，因此有值域为f(x)>=1
2).
k>1,
f'(x)=e^(x-k)-1=0-->x=k
f(k)=1-k<0为极小值点,因此函数有2个零点，一个大于k，一个小于k.
f(2k)=e^k-2k>0,
(这可从e^x-2x
在当x>ln2时为增函数得出）
因此在[k,2k]必有1个零点