Question

三角形都有哪些心？都有什么特征

Answer 1

1 外心 外接圆圆心，为三边中垂线交点 ,到三个顶点距离相等 2 内心 内切圆圆心，为三角角分线交点，到三边的距离相等 3 重心 三条中线的交点 4 垂心 三条高线的交点 5 旁心 一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等 一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。 1.内心：设I为三角形的内心，BC=a,AC=b,AB=c,角A的平分线交BC于D,交ABC的外接圆于K，则AI/ID=AK/KI=IK/KD=b+c/a 利用性质：KI=KB=KC 还有相似三角形，角平分线定理即可搞定 2.外心：设三角形ABC的三条边长，外接圆半径，面积分别为a,b,c,R,S,则R=abc/4S 正弦定理啊。。。面积公式S=1/2absinC sinC=c/2R 3.重心：GA^2+GB^2+GC^2最小..这个用解析法可以。。还可以用复数，向量。。 都是配方法。。。纯几何不知道 4.垂心：三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。 证明Euler线要用到的经典辅助线啊。。。 5.旁心：三角形ABC是三角形DEF的垂足三角形，且三角形DEF的外接圆半径R等于三角形ABC的直径2r（D.E.F为旁心） 去看看九点圆定理 6.设O,G,H,I分别为三角形ABC的外心，重心，垂心和内心，R,r分别为外接，内切圆半径，则 IO^2=R^2-2Rr(欧拉公式） r=4Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) 第一个用圆幂定理+三角表示。。两三步搞定 第二个用面积公式。。再和差化积积化和差整理得 1.内心：设I为三角形的内心，BC=a,AC=b,AB=c,角A的平分线交BC于D,交ABC的外接圆于K，则AI/ID=AK/KI=IK/KD=b+c/a 2.外心：设三角形ABC的三条边长，外接圆半径，面积分别为a,b,c,R,S,则R=abc/4S 3.重心：GA^2+GB^2+GC^2最小 4.垂心：三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。