Question

集合A是由适合以下性质的函数f(x)组成的,对任意的x≥0,f(x)∈[-2,4]且f(x)∈[0,+∞)上是增函数

(1).判断函数f1(x)=√x-2及f2(x)=4-6(1/2)^x(x≥0)是否在集合A中,说明理由

(2).对(1)中你认为对于集合A中的函数f(x),不等式f(x)+f(x+2)＜2f(x+1)是否对于任意的x≥总成立

Answer 1

(1)∵ f1(49)=2－√49=－5不属于(1，4]∴f1(x)不在集合A中
又∵x≥0
∴0＜(1/2)^x≤1
∴-6＜-6(1/2)^x≤0
∴-2＜4-6(1/2)^x≤4
∴f2(x)∈(-2，4]
又f2(x)在[0，+∞)上为减函数
∴f2(x)=4-6(1/2)^x在集合A中。
(2当x≥0时，f(x)+f(x+2)=2+[15(1/2)^x]/4≤23/4
∴2f(x+1)≥23/4＞0
∴f(x)+f(x+2)≤2f(x+1)对于任意的x≥0总成立

Answer 2

(1)f1(x)不在集合A中，因为当x>36时，f1(x)>4;f2(x)属于集合A，因为6(1/2)^x在x>0时，递减且∈(0,1],所以f2(x)在x>0时递增且f2(x)∈[-2,4].
(2)对于f(x)=f2(x)=4-6(1/2)^x(x≥0),有[f(x)+f(x+2)]/2=4-6/2^(x+1)-6/2^(x+2)<4-6/2^(x+1)=f(x+1),所以不等式f(x)+f(x+2)＜2f(x+1)对于任意的x≥总成立。