Question

如图，已知抛物线的方程C1：y=-1/m（x+2）（x-2m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，

如图，已知抛物线的方程C1：y=-1/m（x+2）（x-2m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；
（2）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH-EH的绝对值最大，求出最大值及点H的坐标；
（3）当m取何值时，抛物线上存在点E，使得以点B、C、D、F四点为顶点的四边形是直角梯形，求m的值，并写出点D的坐标。
（3）当m取何值时，抛物线上存在点D，使得以点B、C、D、E四点为顶点的四边形是直角梯形，求m的值，并写出点D的坐标。

Answer 1

（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得：
2=﹣（2+2）（2﹣m），
解得m=4．
（2）令y=0，即（x+2）（x﹣4）=0，
解得x1=﹣2，x2=4，
∴B（﹣2，0），C（4，0）
在C1中，令x=0，得y=2，
∴E（0，2）．
∴S△BCE=BC·OE=6．
（3）当m=4时，
易得对称轴为x=1，
又点B、C关于x=1对称．
如解答图1，连接EC，交x=1于H点，
此时BH+CH最小（最小值为线段CE的长度）．
设直线EC：y=kx+b，
将E（0，2）、C（4，0）代入得：y=x+2，
当x=1时，y=，
∴H（1，）．
（4）分两种情形讨论：
①当△BEC∽△BCF时，如解答图2所示．
则，
∴BC2=BE·BF．
由（2）知B（﹣2，0），E（0，2），即OB=OE，
∴∠EBC=45°，
∴∠CBF=45°，
作FT⊥x轴于点F，
则BT=TF．
∴可令F（x，﹣x﹣2）（x＞0），
又点F在抛物线上，
∴﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），
∴x+2＞0（∵x＞0），
∴x=2m，F（2m，﹣2m﹣2）．
此时BF==（m+1），BE=，BC=m+2，
又BC2=BE·BF，
∴（m+2）2=·（m+1），
∴m=2±，
∵m＞0，
∴m=+2．
②当△BEC∽△FCB时，如解答图3所示．
则，
∴BC2=ECBF．
同①，∵∠EBC=∠CFB，△BTF∽△COE，==，
∴可令F（x，-（x+2））（x＞0）
又点F在抛物线上，
∴-（x+2）=﹣（x+2）（x﹣m），
∵x+2＞0（∵x＞0），
∴x=m+2，
∴F（m+2，-（m+2）），EC=，BC=m+2，
又BC2=ECBF，
∴（m+2）2=
整理得：m=16，显然不成立．
综合①②得，
在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似，
m=+2．
以下为解答图
http://pic1.mofangge.com/upload/papers/c02/20120824/201208241516278165167.png
http://pic1.mofangge.com/upload/papers/c02/20120824/201208241516281368548.png
http://pic1.mofangge.com/upload/papers/c02/20120824/2012082415162848810445.png

Answer 2

(1)将x=2,y=2 代入函数得
2=-1/m *4*(2-2m)
m=-4+4m
m=4/3
(2)m=4/3 而B(-2,0) C(8/3,0) 所以对称轴为x＝ (8/3-2)/2=1/3
设H(1/3,n)
令x=0 得 y=-3/4*2*(-2*4/3)=4 所以E(0,4)
要使BH-EH 最大 则 H在直线BE 上 所以H是直线BE 与对称轴X=1/3的交点
BE:y-4=(4-0)/(0+2)*x=2x
令x=1/3 时y=4+2x=4+2/3=14/3
所以H(1/3,14/3) 最大值为BE＝根号(4^2+2^2)=2根号5
(3)显然BC不可能是 上底或下底
那么BE,CE为上底或下底
那么只有角BEC＝90
x=0 y=-1/m *(0+2)(0-2m) =4
E(0,4)
C(2m,0)
BE的斜率为:2 CE的斜率为:(0-4)/(2m-0)=-2/m (m>0)
角BEC＝90 所以 2*(-2)/m=-1 得m=4

若CE是上底则 BD平行CE CE的斜率为:-2/4=-1/2
BD直线方程为:y=-1/2(x+2)
与y=-1/4 *(x+2)(x-8) 解得
-1/2 (x+2)=-1/4(x+2)(x-8)
得(x-8)=2 x=10
所以D(10,-6)

若以BE为上底则 CD平行BE C(8,0)
CD直线方程为:y=2(x-8)
与y=-1/4*(x+2)(x-8)解得
2(x-8) =-1/4*(x+2)(x-8)
x+2=-8 x=-6
所以D(-6,-7)

追问

额、、初三党，斜率什么的还没学
有其他方法吗，勾股、相似之类的
thank you！