Question

第二类曲面积分，极坐标计算

∫∫zdxdy+xdzdy+ydxdz,s是柱面x^2+y^2=1被平面z=0及z=3 所截部分的外侧。那个∫∫下面有s，

算 ∫∫xdydz ，以柱面坐标系代换 x=cost ，y=sint， z=z 将柱面分为前侧和后侧，可是这样，前侧和后侧的被积函数都变为了 cos^2(t)，再对后侧取负号，那么两个积分加和为零了，可答案上前后侧两个积分是相等的啊，这是什么原因？
到底问题出在哪里呢？

Answer 1

追问

高斯公式是另一种方法，但我想知道为什么用极坐标代换时会出现问题

追答

“以柱面坐标系代换 x=cost ，y=sint， z=z ”这是三重积分才可以。第二类曲面积分不可以。
第二类曲面积分是被积函数在曲面上取值，但积分区域是曲面的投影。
第一类曲面积分的积分区域才是曲面本身。

追问

选定t、z为参变量（相当于u、v） 曲面前侧正号，曲面后侧为负号，相当于投影到t、z平面上去啊，第二类曲面积分应该可以啊

追答

你给出的变换就是 对投影平面上的二重积分进行的坐标变换。可以。

追问

那为什么在计算 ∫∫xdydz 后侧面积时，极坐标结果为负，而正确结果应该为正呢？