Question

在△ABC中,∠A=60°,BE⊥AC,垂足为E,CF⊥AB,垂足为F,点D是BC的中点,BE,CF交于点M. 求证

（1）如果AB=AC，求证：△DEF是等边三角形；
（2）如果AB≠AC，试猜想△DEF是不是等边三角形？如果△DEF是等边三角形，请加以证明；如果△DEF不是等边三角形，请说明理由；
（3）如果CM=4，FM=5，求BE的长度．

Answer 1

∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴在△Rt△ABE中，∠A=60°
那么∠ABE=30°
在Rt△ACF中，∠A=60°
那么∠ACF=30°
∴在Rt△BFM中：∠FBM=∠ABE=30°
那么BM=2FM=2×5=10厘米
在Rt△CEM中：∠ECM=∠ACF=30°
那么ME=1/2CM=1/2×4=2厘米
∴BE=BM+ME=10+2=12厘米
（利用30°所对直角边=斜边的一半求）因为在△ABC中，∠A=60°，AB=AC 所以这是一个等边三角形。
BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，根据等边三角形一边的高是这条边的中线可知E,F分别是AC,AB的中点。
点D为BC的中点，那么可以知道D,E,F三点都是各边的中点，所以△ＤＥＦ是等边三角形

Answer 2

（1）AB=AC可推出∠ABC=∠ACB.又因∠A=60度，所以△ABC是等边三角形，又因E,F,D分别为三边的中点，所以△DEF是等边三角形
（2）不是，这个题要用反证法，假设AB=AC,则△DEF是等边三角形，反之，则不是
（3）CF=9 ∠A=60度 则AC=6√3 。∠ACF=30度 CM=4 则CE=2√3 AE=4√3
则AB=8√3 则AB：AC=4:3

Answer 3

因为D是BC的中点，所以BD=CD.又因为BE=CF,DE⊥AB,DF⊥AC,所以三角形BDE和三角形CDF全等，所以ED=FD。而AD是三角形ADE和三角形ADF的公共边，同理三角形ADE和三角形ADF全等，所以角EAD和角FAD相等，所以结论成立