Question

如图在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F,求证;AD垂直平分EF

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Answer 1

证明：

∵AD平分∠BAC   DE⊥AB    DF⊥AC
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边距离相等）
在ΔADE和ΔADF中
∵AD=AD  DE=DF
∴ΔADE≌ΔADF（HL）
∴∠ADE=∠ADF
在ΔDEG和ΔDFG中
∵DE=DF  ∠ADE=∠ADF  DG=DG
∴ΔDEG≌ΔDFG  (SAS)

∴EG=FG   ∠DGE=∠DGF
∵∠DGE+∠DGF=180º（平角）

∴∠DGE=∠DGF=90º

∴AD垂直平分EF

Answer 2

证明：在△ABC中  

           ∵AD平分∠BAC  DE⊥AB  DF⊥AC

           ∴DE=DF  ∠AFD=∠AED=90°  ∠EAD=∠FAD

           ∴△AED≌△AFD

           ∴∠EDA=∠FDA

     又   ∵DO=DO

            ∴△EDO≌△FDO

            ∴EO=FO   ∠EOD=∠FOD

      又  ∵∠EOD+∠FOD=180°

            ∴∠EOD=∠FOD=180°/2=90°

            ∴AD⊥EF

            ∴AD垂直平分EF