有关不等式的应用题
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例谈中考试题的不等式应用题
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中考对不等式这一知识点的考查，从2001年全国各地的试题看，过去那种传统题型已明显减少或正在消失，而代之以更具活力的应用题的形式出现。众所周知，能力的落脚点在应用，不等式同其它知识一样，一旦走向应用，就更具有广阔的市场，如河北省的中考试题中，数学应用题分值高达71分，占59%，其中不等式应用题就有两题，广州市的中考试卷甚至以不等式的应用题为压轴题。本文仅就不等式应用题的特征与解答作些探讨，仅供参考。
一、单一不等式应用题
例1、(河北省)在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛试题中共有25道题，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案正确，要求学生把正确答案选出来，每道题选对得4分，不选或选错倒扣2分，如果一个学生在本次竞赛中得分不低于60分，那么他至少选对了______道题。
评析：不等式应用题的难点之一是辨别它与方程应用题的异同，如何列出不等式，要善于抓住题中“不低于”、“至少”等字词的数学含义。本题中对“倒扣2分”应理解为不选或选错，实际应扣6分，故当设选对了x道题，则不选或选错题为(25-x)道，则有
100-6(25-x)≥60
解出：x≥18x=19，即他至少选对了19道题。
例2、(某市)足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队应打15场已负3场，若要想积22分，那么这个队至少还要胜( )
A、3场 B、4场 C、5场 D、6场
评析：一场足球比赛结果有三种情况：胜、平、负，若设还要胜x场，其余为打平，则
3x+12-x≥22 推出x≥5
为什么不能列方程：3x+12-x=22，因实际得分小于或等于3x+12-x(以后的比赛中有可能输)，故
3x+12-x≥实际得分=22
例3、(北京市东城区)商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55度，现将A型冰箱打折出售(打一折后的售价为原来的)，问商场至少打几折，消费者购买才合算(按使用期为10年，每年365天，每度电0.40元计算)。
解：现将A型冰箱打x折出售，购买才合算，依题意有：
2190×+365×10×0.4≤2190×(1+10%)+365×10×0.55×0.4
推出x≤8
即商场应将A型冰箱至少八折出售，消费者购买才合算。
评相：本例运用解不等式为市场营销中的购销行为提供决策。
二、综合方程式，函数式的不等式应用题
例4、(山西省)某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初出售可获利15%，并可用本利和再投资其他商品，则月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓库储仓费用700元，请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？
解：设投资x元，在月初出售，到月末可获利y1元；在月末出售可获利y2元，由题意有：y1=15%·x+10%·(x+15%·x)=0.265x
y2=x·0.3-700=0.3x-700
(1)当y1=y2时，解：0.265x=0.3x-700推出x=2000元
(2)当y1＜y2时，解：0.265x＜0.3x-700推出x＞2000元
(3)当y1＞y2时，解：0.265x＞0.3x＜700推出x＜2000元
即当商场投入2000元时，两种经营方式获利相同，当投资超过2000元时，第二种方式获利较多，当投资不足2000元时，按第一种方式获利较多。
评析：由第(1)问得出两个函数式，(2)(3)两问则利用解不等式，对经营方式进入择优决策，不等式的应用在此得到了很好的发挥。
例5、(重庆市)为保护长江，减少水土流失，我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林，从1995年起在坡荒地上植树造林，以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地，由于每年因自然灾害，树木成活率、人为因素等的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表为1995、1996、1997三年的坡荒地面积和植树面积的统计数据，假设坡荒地全部种上树后，不再水土流失，问到哪一年可以将全县所有坡荒地全部种上树木。
1995
1996
1997
每年植树的面积(亩)
100
1400
1800
植树后机关报坡荒地折面积(亩)
25200
24000
22400
(2)为节约用水，这个市规定：该厂日用水量不超过20吨水时，水价为每吨4元；日用水量超过20吨时，超过部分按每吨40元收费，已知该厂日用水量不少于20吨，设该厂日用水量为t吨，当日所获利润为W元，求W与t的关系式；该厂加强管理，积极节水，使日用水量不超过25吨，不少于20吨，求该厂的日利润的取值范围。
解：(1)设y=kx+b，依题意有：
推出，
推出y=-x+204
当x=10，y=194，即每吨10元时，1吨水生产饮料所获利润为194元
(2)由(1)知y=-x+204，当x=4时，y=200，x=40时，y=164
∴W=200×20+164(t-20)=164t+720(t≥20)
∴t=，由20≤t≤25，即
20≤≤25，
推出4000≤W≤4820
即该厂日利润不少于4000元，且不超过4820元
评价；本题涉及不等式、方程式、函数式的综合。
例7、(济南市)某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的短形彩条如右图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm，AB=50cm，依次裁下宽为1cm的矩形彩条a1，a2，a3……若使裁得的矩形彩条的长都不小于5cm，则将每张直角三角形彩纸裁成的矩形纸条的总数是( )
A、24 B、25 C、26 D、27
分析：设可裁n条矩形纸条，如图设第n条矩形的长EF=x，则
，
x=(30-n)，又x≥5，
即(30-n)≥5n≤26
∴n=26，故选(C)。
这是一道综合方程式的不等式应用题。
例8、(苏州市)某园林的门票每张10元，一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出一种“购买个人年票”的售票方法(个人年票从购买日起，可供持票者使用一年)，年票分A、B、C三类：A类年票每张120元，持票者进入园林时无需再购买门票；B类年票60元，持票者进入园林时，需再购买门票每次2元；C类年票每张40元，持票者进入园林时，需要购买门票，每次3元。
(1)如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多购票方式。
(2)求一年中进入园林至少超过多少次时，购买A类门票比较合算？
分析：问题(1)是用80元买门票通过三种形式比较择优决出进入园林次数最多的购票方式，显然排除A类年票；
若选B类年票，则次数为
=10(次)；
若选C类年票，则次数为
=13次；
若不购年票，随买随进，则只能进
=8次
经上述比较，购买C类年票进入园林的次数较多为13次
问题(2)涉及不等式，设至少超过x次购买A类门票比较合算，则有：
故一年中进入园林至少超过30次时，购买A类门票比较合算。
本例以旅游为背景，借助不等式这一知识为旅游提供合算的消费决策。象这种不等式的应用题在过去的中考试题中很少见到。
例9、(广州市)在车站开始检票时，有a名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后仍有旅客继续来检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？
分析：本例建立数学模型是难点，涉及旅客人数，检票速度，开放检票口个数都需以字母表出，再理清等量关系(方程)与不等量关系(不等式)设陆续进站的旅客每分钟x人，每个检票口每分钟检y人，要在5分钟内检票完毕同时开放n个检票口，则由题意有：
①-②并化简：y=2x，
代入①，a=30(y-x)=30x
将y=2x，a=30x代入③，
35x≤10nxn≥3.5n=4
本例以旅客进站检票为背景，利用方程与不等式等数学知识，为疏通旅客流量，合理安排检票口，为旅客提供优质高效服务的最优决策。象这种以不等式的应用题作为中考试题的压轴题，以前从未出现过，是中考史上的首例。
例10、(陕西)乘某城市的一种出租汽车起价是10元(即行驶路程在5km以内都需付10元车费)，达到或超过5km后，每增加1km加价1.2元(不足1km按1km计)现在某人乘此出租汽车从A到B付车费17.2元，问从A到B大约有多少路程？
分析：设从A到B大约为xkm，则：
16＜10+(x-5)×1.2≤17.210＜x≤11
即从A到B大约长10至11公里
例11、(某市)某通讯公司规定在营业网内通话收费为：通话前3分钟0.5元，通话超过3分钟每分钟加收0.1元(不足1分钟按1分钟计算)某人一次通话费为1.1元，问此人此次通话时间大约为多少？
分析：设此人通话时间为x分钟，则：
1＜0.5+(x-3)×0.1≤1.18＜x≤9。
即此人此次通话时间大约在8分至9分钟之间。
例12、(甘肃省)某市20位下岗职工在近郊承包50亩土地办农场，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表：
作物品种
每亩地需职工数
每亩地预计产值
蔬菜
1100元
烟叶
750元
小麦
600元
请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物之预计总产值最多。
分析：设种植蔬菜、烟叶、小麦各x亩、y亩，(50-x-y)亩，由题意有：
x+y+(50-x-y)=203x+y=90y=90-3x
再设预计总产值为W(元)，则
W=1100x+750(90-3x)+600(50-x-90+3x)
再将y=90-3x代入
W=50x+43500
这是一个关于x的一次函数，其最值决定于x的取值范围，关键在于如何列出关于x的不等式，反复审查题意，发现有
y=90-3x≥00＜x≤30，
此时x取最大值30，代入
W最大=43500+50×30=45000(元)，
于是得出方案：
不种烟叶，而种蔬菜30亩，小麦20亩，且安排15人种蔬菜，5人种小麦方可获得最大的经济效益。
这是一道决策型试题，而不等式的应用，最终为最佳方案的决策起到了不可忽略的作用。
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中考对不等式这一知识点的考查，从2001年全国各地的试题看，过去那种传统题型已明显减少或正在消失，而代之以更具活力的应用题的形式出现。众所周知，能力的落脚点在应用，不等式同其它知识一样，一旦走向应用，就更具有广阔的市场，如河北省的中考试题中，数学应用题分值高达71分，占59%，其中不等式应用题就有两题，广州市的中考试卷甚至以不等式的应用题为压轴题。本文仅就不等式应用题的特征与解答作些探讨，仅供参考。
一、单一不等式应用题
例1、(河北省)在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛试题中共有25道题，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案正确，要求学生把正确答案选出来，每道题选对得4分，不选或选错倒扣2分，如果一个学生在本次竞赛中得分不低于60分，那么他至少选对了______道题。
评析：不等式应用题的难点之一是辨别它与方程应用题的异同，如何列出不等式，要善于抓住题中“不低于”、“至少”等字词的数学含义。本题中对“倒扣2分”应理解为不选或选错，实际应扣6分，故当设选对了x道题，则不选或选错题为(25-x)道，则有
100-6(25-x)≥60
解出：x≥18x=19，即他至少选对了19道题。
例2、(某市)足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队应打15场已负3场，若要想积22分，那么这个队至少还要胜( )
A、3场 B、4场 C、5场 D、6场
评析：一场足球比赛结果有三种情况：胜、平、负，若设还要胜x场，其余为打平，则
3x+12-x≥22 推出x≥5
为什么不能列方程：3x+12-x=22，因实际得分小于或等于3x+12-x(以后的比赛中有可能输)，故
3x+12-x≥实际得分=22
例3、(北京市东城区)商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55度，现将A型冰箱打折出售(打一折后的售价为原来的)，问商场至少打几折，消费者购买才合算(按使用期为10年，每年365天，每度电0.40元计算)。
解：现将A型冰箱打x折出售，购买才合算，依题意有：
2190×+365×10×0.4≤2190×(1+10%)+365×10×0.55×0.4
推出x≤8
即商场应将A型冰箱至少八折出售，消费者购买才合算。
评相：本例运用解不等式为市场营销中的购销行为提供决策。
二、综合方程式，函数式的不等式应用题
例4、(山西省)某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初出售可获利15%，并可用本利和再投资其他商品，则月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓库储仓费用700元，请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？
解：设投资x元，在月初出售，到月末可获利y1元；在月末出售可获利y2元，由题意有：y1=15%·x+10%·(x+15%·x)=0.265x
y2=x·0.3-700=0.3x-700
(1)当y1=y2时，解：0.265x=0.3x-700推出x=2000元
(2)当y1＜y2时，解：0.265x＜0.3x-700推出x＞2000元
(3)当y1＞y2时，解：0.265x＞0.3x＜700推出x＜2000元
即当商场投入2000元时，两种经营方式获利相同，当投资超过2000元时，第二种方式获利较多，当投资不足2000元时，按第一种方式获利较多。
评析：由第(1)问得出两个函数式，(2)(3)两问则利用解不等式，对经营方式进入择优决策，不等式的应用在此得到了很好的发挥。
例5、(重庆市)为保护长江，减少水土流失，我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林，从1995年起在坡荒地上植树造林，以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地，由于每年因自然灾害，树木成活率、人为因素等的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表为1995、1996、1997三年的坡荒地面积和植树面积的统计数据，假设坡荒地全部种上树后，不再水土流失，问到哪一年可以将全县所有坡荒地全部种上树木。
1995
1996
1997
每年植树的面积(亩)
100
1400
1800
植树后机关报坡荒地折面积(亩)
25200
24000
22400
(2)为节约用水，这个市规定：该厂日用水量不超过20吨水时，水价为每吨4元；日用水量超过20吨时，超过部分按每吨40元收费，已知该厂日用水量不少于20吨，设该厂日用水量为t吨，当日所获利润为W元，求W与t的关系式；该厂加强管理，积极节水，使日用水量不超过25吨，不少于20吨，求该厂的日利润的取值范围。
解：(1)设y=kx+b，依题意有：
推出，
推出y=-x+204
当x=10，y=194，即每吨10元时，1吨水生产饮料所获利润为194元
(2)由(1)知y=-x+204，当x=4时，y=200，x=40时，y=164
∴W=200×20+164(t-20)=164t+720(t≥20)
∴t=，由20≤t≤25，即
20≤≤25，
推出4000≤W≤4820
即该厂日利润不少于4000元，且不超过4820元
评价；本题涉及不等式、方程式、函数式的综合。
例7、(济南市)某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的短形彩条如右图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm，AB=50cm，依次裁下宽为1cm的矩形彩条a1，a2，a3……若使裁得的矩形彩条的长都不小于5cm，则将每张直角三角形彩纸裁成的矩形纸条的总数是( )
A、24 B、25 C、26 D、27
分析：设可裁n条矩形纸条，如图设第n条矩形的长EF=x，则
，
x=(30-n)，又x≥5，
即(30-n)≥5n≤26
∴n=26，故选(C)。
这是一道综合方程式的不等式应用题。
例8、(苏州市)某园林的门票每张10元，一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出一种“购买个人年票”的售票方法(个人年票从购买日起，可供持票者使用一年)，年票分A、B、C三类：A类年票每张120元，持票者进入园林时无需再购买门票；B类年票60元，持票者进入园林时，需再购买门票每次2元；C类年票每张40元，持票者进入园林时，需要购买门票，每次3元。
(1)如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多购票方式。
(2)求一年中进入园林至少超过多少次时，购买A类门票比较合算？
分析：问题(1)是用80元买门票通过三种形式比较择优决出进入园林次数最多的购票方式，显然排除A类年票；
若选B类年票，则次数为
=10(次)；
若选C类年票，则次数为
=13次；
若不购年票，随买随进，则只能进
=8次
经上述比较，购买C类年票进入园林的次数较多为13次
问题(2)涉及不等式，设至少超过x次购买A类门票比较合算，则有：
故一年中进入园林至少超过30次时，购买A类门票比较合算。
本例以旅游为背景，借助不等式这一知识为旅游提供合算的消费决策。象这种不等式的应用题在过去的中考试题中很少见到。
例9、(广州市)在车站开始检票时，有a名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后仍有旅客继续来检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？
分析：本例建立数学模型是难点，涉及旅客人数，检票速度，开放检票口个数都需以字母表出，再理清等量关系(方程)与不等量关系(不等式)设陆续进站的旅客每分钟x人，每个检票口每分钟检y人，要在5分钟内检票完毕同时开放n个检票口，则由题意有：
①-②并化简：y=2x，
代入①，a=30(y-x)=30x
将y=2x，a=30x代入③，
35x≤10nxn≥3.5n=4
本例以旅客进站检票为背景，利用方程与不等式等数学知识，为疏通旅客流量，合理安排检票口，为旅客提供优质高效服务的最优决策。象这种以不等式的应用题作为中考试题的压轴题，以前从未出现过，是中考史上的首例。
例10、(陕西)乘某城市的一种出租汽车起价是10元(即行驶路程在5km以内都需付10元车费)，达到或超过5km后，每增加1km加价1.2元(不足1km按1km计)现在某人乘此出租汽车从A到B付车费17.2元，问从A到B大约有多少路程？
分析：设从A到B大约为xkm，则：
16＜10+(x-5)×1.2≤17.210＜x≤11
即从A到B大约长10至11公里
例11、(某市)某通讯公司规定在营业网内通话收费为：通话前3分钟0.5元，通话超过3分钟每分钟加收0.1元(不足1分钟按1分钟计算)某人一次通话费为1.1元，问此人此次通话时间大约为多少？
分析：设此人通话时间为x分钟，则：
1＜0.5+(x-3)×0.1≤1.18＜x≤9。
即此人此次通话时间大约在8分至9分钟之间。
例12、(甘肃省)某市20位下岗职工在近郊承包50亩土地办农场，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表：
作物品种
每亩地需职工数
每亩地预计产值
蔬菜
1100元
烟叶
750元
小麦
600元
请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物之预计总产值最多。
分析：设种植蔬菜、烟叶、小麦各x亩、y亩，(50-x-y)亩，由题意有：
x+y+(50-x-y)=203x+y=90y=90-3x
再设预计总产值为W(元)，则
W=1100x+750(90-3x)+600(50-x-90+3x)
再将y=90-3x代入
W=50x+43500
这是一个关于x的一次函数，其最值决定于x的取值范围，关键在于如何列出关于x的不等式，反复审查题意，发现有
y=90-3x≥00＜x≤30，
此时x取最大值30，代入
W最大=43500+50×30=45000(元)，
于是得出方案：
不种烟叶，而种蔬菜30亩，小麦20亩，且安排15人种蔬菜，5人种小麦方可获得最大的经济效益。
这是一道决策型试题，而不等式的应用，最终为最佳方案的决策起到了不可忽略的作用。
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