已知函数f(x)=2×9^x-3^x+a^2-a-3,当0≤x≤1时,f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围为
我们班数学老师说这是重点……考试一定会考到……但是后面的步骤中有很多不理解的,求各位学霸详细解答QAQ万分感谢...
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易知f(x)=2×9^x-3^x+a^2-a-3=2×(3^x)^2-3^x+a^2-a-3
令3^x=t
显然当0≤x≤1时1≤t≤3
则f(x)=g(t)=2t^2-t+a^2-a-3
且有当1≤t≤3时,g(t)=2t^2-t+a^2-a-3>0恒成立
易知g(t)对称轴为t=1/4
则函数g(t)在t<1/4时递减,而在t>1/4时递增
显然对称轴在区间[1,3]的左侧
即函数g(t)在区间[1,3]上递增
所以在区间[1,3]上g(t)min=g(1)=a^2-a-2
要使当1≤t≤3时,g(t)>0恒成立
则必有g(t)≥g(t)min>0
即a^2-a-2>0
即(a-2)(a+1)>0
解得a<-1或a>2
令3^x=t
显然当0≤x≤1时1≤t≤3
则f(x)=g(t)=2t^2-t+a^2-a-3
且有当1≤t≤3时,g(t)=2t^2-t+a^2-a-3>0恒成立
易知g(t)对称轴为t=1/4
则函数g(t)在t<1/4时递减,而在t>1/4时递增
显然对称轴在区间[1,3]的左侧
即函数g(t)在区间[1,3]上递增
所以在区间[1,3]上g(t)min=g(1)=a^2-a-2
要使当1≤t≤3时,g(t)>0恒成立
则必有g(t)≥g(t)min>0
即a^2-a-2>0
即(a-2)(a+1)>0
解得a<-1或a>2
2013-10-30
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f(x)=2×9^x-3^x+a^2-a-3>0
2×3^(2x)-3^x+a^2-a-3>0
16*3^(2x)-8*3^x+8a^2-8a-24>0
(4*3^x-1)^2+2(2a-1)^2-26>0
(4*3^x-1)^2+2(2a-1)^2>26
0≤x≤1
则 4*3^x-1>=3
2(2a-1)^2>17
(1)2a-1<-√34/2
a<(2-√34)/4
(2)2a+1>√17/2
a>(√34-2)/4
2×3^(2x)-3^x+a^2-a-3>0
16*3^(2x)-8*3^x+8a^2-8a-24>0
(4*3^x-1)^2+2(2a-1)^2-26>0
(4*3^x-1)^2+2(2a-1)^2>26
0≤x≤1
则 4*3^x-1>=3
2(2a-1)^2>17
(1)2a-1<-√34/2
a<(2-√34)/4
(2)2a+1>√17/2
a>(√34-2)/4
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