Question

三角形ABC中，AB=AC，P为BC边上一点。试求证PA^2+PB×PC=AB^2

Answer 1

三角形ABC中AB=AC，所以是等腰三角形。过A作AD垂直于BC，交BC于D（即AD为BC边上的高），P任意取（比如这里P在B、D间）。则PC=DC+DP，因为BD=CD（等腰三角形的底边上的高垂直平分底边）所以PC=BD+DP，PB=BD-DP，所以（BD+DP）*（BD-DP）=PB*PC。所以BD平方-DP平方=PB*PC。＜因为AB平方=AD平方+BD平方，AP平方=AD平方+DP平方。(根据勾股定理) 两式相减即可得AB平方-AP平方=BD平方-DP平方=PB*PC＞所以就有AB平方-AP平方=PB*PC。

Answer 2

取BC中点D连接AD
∵AB=AC
∴AD⊥BC
∴AB�0�5=AD�0�5+BD�0�5
=AP�0�5-PD�0�5+（BP+PD)�0�5
=AP�0�5+BP�0�5+2BP×PD
=AP�0�5+BP（BP+2PD）
=AP�0�5+BP（BD+PD)
=AP�0�5+BP(CD+PD)
AP�0�5+BP×CP
故得证