Question

已知定义在（0， ∞）上的函数f(x) 满足f(xy)=f(x) f(y),x, y ∈(0, ∞）。 (1) 对于任意的x, y ∈(0,+

+∞）, 证明：f﹝x/y﹞= f(x)-f(y)；（2）对于任意的x ∈(0, +∞）,m,n∈N﹡, 证明：f﹝X^n/m﹞=n/m f(x).

Answer 1

解：（1）证明：f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），①
令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．
令y=﹣x，代入①式，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），
又f（0）=0，则有0=f（x）+f（﹣x）．
即f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R成立，
所以f（x）是奇函数．
（2）解：f（3）=log23＞0，即f（3）＞f（0），
又f（x）在R上是单调函数，所以f（x）在R上是增函数，
又由（1）f（x）是奇函数．
f（k·3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣2）=f（﹣3x+9x+2），
k·3x＜﹣3x+9x+2，
令t=3x＞0，分离系数得：，
问题等价于，
对任意t＞0恒成立．
∵，
∴．