Question

知道递推公式A[n]=n*(A[n-1]+1)怎么算通项式?

急求，还有一个A[n]=2^(n-1)-A[n-1],求数学帝，求救啊~~~~

Answer 1

郭敦顒回答：

对于A[n]=n*(A[n-1]+1)，

第1项a1=1（0+1）=1；

第2项a2=2（1+1）=1•2+2；

a3=3[2（1+1）+1]=3[（1•2+2）+1]=1•2•3+2•3+3=3！+3！/1+3；

a4=4[（1•2•3+2•3+3）+1]=2•4！+3•4+4；

a5=5[（2•4！+3•4+4）+1]=2•5！+3•4•5+4•5+5=2•5！+5！/2！+5！/3！+5！/4！；

…

∴通项公式是：an=2•n！+n！/2！+n！/3！+n！/4！+…+n！/（n－1）！。

对于A[n]=2^(n-1)-A[n-1]，

第1项A1=2^(1－1) －0=1；

第2项A2=2^(2－1) －1=1；

A3=2^(3－1)－[2^(2－1)－1]= 2^(3－1)－2^(2－1)+1；

A4= 2^(4－1)－[2^(3－1)－2^(2－1)+1=2^(4－1)－2^(3－1)+ 2^(2－1)－1；

A5= 2^(5－1)－2^(4－1)+[2^(3－1)－2^(2－1)+1=2⁴－2³+2²－2¹+1；

…

∴通项公式是：

当n为奇数时，A n=2^(n－1)－2^(n－2)+[2^(n－3)－…+2²－2¹+1；

当n为偶数时，A n=2^(n－1)－2^(n－2)+[2^(n－3)－…－2²+2¹－1。

追问

大哥啊，你这通项公式要拿来算n大于10的都很麻烦啊，而且，你提的这些公式我自己都能推导出来，没有其他简单一点的？？

追答

郭敦顒继续回答：

进一步变形，

当n为奇数时，A n=2^(n－1)+ 2^(n－3)+ …+2⁵+2³+2¹+1；

当n为偶数时，A n= 2^n+2^(n－2)+2^(n－4)+ …+2⁴+2²+2⁰

还可以再进一步变形，但也都不那么简单，而最简单的还当数递推公式本身。