Question

An=An-1+1/An-1 求通项公式（其中An-1为An的前一项）A1=1

只有对 各种方法 都给分

Answer 1

解：用不动点法求该数列通项公式：
a(n+1)=1+1/a(n)=[a(n)+1]/a(n)
令a(n+1)=a(n)=x,代入有：
x^2-x-1=0
解得x1=(1+√5)/2,x2=(1-√5)/2
x1≠x2
那么数列{[a(n)-x1]/[a(n)-x2]}就是等比数列(具体原因要到大学才学)
不妨设b(n)=[a(n)-x1]/[a(n)-x2]=[a(n)-(1+√5)/2]/[a(n)-(1-√5)/2]
由于是等比数列对其前几项观察得其通项公式为：
b(n)=[(-3+√5)/2]^n
代入解得a(n)=(1-√5)/2+{√5/[1-[(-3+√5)/2]^n]},n∈N*
注：(对于不动点法求数列通项公式的介绍）
此题中x1≠x2，对应于下面(1)的方法。
形如：a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D)，A,C不为0的分式递推式都可用不动点法求。让a(n+1)=an=x，代入化为关于x的一元二次方程
(1)若两根x1不等于x2，有{(an-x1)/(an-x2)}为等比数列，公比由两项商求出
(2)若两根x1等于x2，有{1/(an-x1)}为等差数列，公差由两项差求出
若无解，就只有再找其他方法了。

Answer 2

此递推式是一个经典的式子,它写不出简洁的通项公式,只能迭代,而且很繁.

Answer 3

说清楚点 等式 右边 分子到底 是哪个