Question

设函数f(x)=x|x-a|,x∈[0,1]的最大值为a^2/4,求实数a的取值范围

已知函数f(x)=x|x-a|(X属于[0,1])的最大值是(a^2)/4,求实数a的取值范围
谢谢详细解析过程！

Answer 1

已知函数f(x)=x|x-a|(X属于[0,1])的最大值是(a^2)/4,求实数a的取值范围

解析：因为，分段函数：
f(x)=ax-x^2 (x<a)
f(x)=x^2-ax (x>=a)
当x<a时，f(x)为开口向下的抛物线，对称轴为x=a/2，其最大值为a^2/4
当x>=a时，f(x)为开口向上的抛物线，对称轴为x=a/2，其最小值为a^2/4
当a<=0时，a<a/2<0，f(x)在区间[0,1]上单调增，最大值为f(1)=|1-a|
当a>0时，0<a/2<a，
a^2/4-|1-a|==>0<a<1时，(a^2-4+4a)/4>=0==>a>=2√2-2
a>=1时，(a^2+4-4a)/4>=0==>(a-2)^2>=0
即
当0<a<2√2-2时，a^2/4<|1-a|
当2√2-2<=a<=2时，a^2/4>=|1-a|
当a>2时，a^2/4>|1-a|
综上：当2√2-2<=a<=2时，f(x)在区间[0,1]上，最大值为a^2/4

追问

谢谢你的回答！
似乎少了一个a=-2√2-2

追答

对，当a=-2√2-2时，a<0,f(x)在区间[0,1]上单调增，最大值为f(1)=|1-a|，在数值上|1-a|=a^2/4

Answer 2

f(x)有最大值，所以x<a，所以f(x)=-x²+ax=-(x-a/2)²+a²/4所以当x-a/2=0时f(x)有最大值a²/4
又x∈[0,1]所以a∈[0,2].

Answer 3

若a<0,则f(x)=x^2-ax=(x-a/2)^2-a^2/4,在[0,1]上递增，x=1取得最大值，即1-a=a^2/4,求得a=+-2sqrt(2)-2,a<0,故a=-2sqrt(2)-2
若a>1,则f(x)=ax-x^2=-(x-a/2)^2+a^2/4递增，x=1取得最大值，求得a=2
若0<=a<=1,则若x>a,则f(x)=(x-a/2)^2-a^2/4,在[a，1]上递增，在[0,a/2]递减，a<=1,所以a/2<=1/2,故x=1取得最大值，求得a=2sqrt(2)-2
若x<=a,则f(x)=ax-x^2=-(x-a/2)^2+a^2/4，f(x）在[0,a/2]递增，在[a/2,1]递减，当x=a/2有最大值。
故a的取值范围为a=-2sqrt(2)-2and a=2 and [0,1]