[微积分][微分中值定理][证明题]
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且有f(1)=2f(0).证明:在(0,1)上至少存在一点x,使得(1+x)f'(x)=f(x)...
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且有f(1)=2f(0).
证明: 在(0,1)上至少存在一点x, 使得(1+x) f ' (x) = f(x) 展开
证明: 在(0,1)上至少存在一点x, 使得(1+x) f ' (x) = f(x) 展开
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设g(x)=f(x)/(1+x)
则g(x)在[0,1]连续，在(0,1)可导
且：g(0)=f(0)，g(1)=f(1)/2，由条件知：g(0)=g(1)
因此由罗尔定理，存在x∈(0,1)，使得
g'(x)=0
即：[f(x)/(1+x)]' = 0
[(1+x)f '(x) - f(x)] / (1+x)^2 = 0
因此：(1+x)f '(x) - f(x) = 0
原式得证
则g(x)在[0,1]连续，在(0,1)可导
且：g(0)=f(0)，g(1)=f(1)/2，由条件知：g(0)=g(1)
因此由罗尔定理，存在x∈(0,1)，使得
g'(x)=0
即：[f(x)/(1+x)]' = 0
[(1+x)f '(x) - f(x)] / (1+x)^2 = 0
因此：(1+x)f '(x) - f(x) = 0
原式得证
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2024-04-02 广告
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