已知函数y=f(x)是定义域在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x²+4x+3. 1、求函数f(x)的解析式。
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设x>0,则-x<0
则f(-x)=x²-4x+3
由于函数y=f(x)是定义域在R上的奇函数,有f(x)=-f(-x)
所以
-f(x)=f(-x)=x²-4x+3
所以f(x)=-x²+4x-3;(当x>0时)
f(0)=-f(-0)
所以f(0)=0
即f(x)的解析式为
f(x)=-x²+4x-3;(当x>0时)
f(x)=0;(当x=0时)
f(x)=x²+4x+3;(当x<0时)
当x>0时,函数为f(x)=-x²+4x-3
此函数图像开口向下,在对称轴左边为增函数;函数对称轴为x=2
所以当x>0时,增区间为(0,2)
当x<0时,函数为f(x)=x²+4x+3
此函数图像开口向上,在对称轴右边为增函数;函数对称轴为x=-2
所以当x<0时,增区间为(-2,0)
综上,函数f(x)的单调递增区间为(-2,0)和(0,2)
则f(-x)=x²-4x+3
由于函数y=f(x)是定义域在R上的奇函数,有f(x)=-f(-x)
所以
-f(x)=f(-x)=x²-4x+3
所以f(x)=-x²+4x-3;(当x>0时)
f(0)=-f(-0)
所以f(0)=0
即f(x)的解析式为
f(x)=-x²+4x-3;(当x>0时)
f(x)=0;(当x=0时)
f(x)=x²+4x+3;(当x<0时)
当x>0时,函数为f(x)=-x²+4x-3
此函数图像开口向下,在对称轴左边为增函数;函数对称轴为x=2
所以当x>0时,增区间为(0,2)
当x<0时,函数为f(x)=x²+4x+3
此函数图像开口向上,在对称轴右边为增函数;函数对称轴为x=-2
所以当x<0时,增区间为(-2,0)
综上,函数f(x)的单调递增区间为(-2,0)和(0,2)
追问
第二题的 f(x)的单调递增区间为(-2,0)或者(0,2) 这个画图的时候是要空心还是实心?
追答
要空心。他的图像在x=0是跳跃形式的,你可以画个图看下,很快就明白了。当x0但无限靠近0的时候,f(x)是要小于0的,接近-3;而f(0)又等于0,所以函数图像并不是连续的,在0处有了个跳跃
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答:
1)
y=f(x)是定义在R上奇函数:
f(-x)=-f(x)
f(0)=0
x<0时:f(x)=x^2+4x+3
x>0时:-x<0,f(-x)=(-x)^2-4x+3=x^2-4x+3=-f(x)
所以:x>0时,f(x)=-x^2+4x-3
所以f(x)的解析式为:
x^2+4x+3,x<0
f(x)={ 0 x=0
-x^2+4x-3,x>0
2)
x<0时,f(x)=x^2+4x+3
求导:f'(x)=2x+4
解f'(x)=0得x=-2
x<-2时,f'(x)<0,f(x)是减函数
-2<x<0时,f'(x)>0,f(x)是增函数
根据对称轴,0<x<2时,f(x)也是增函数
所以:f(x)的单调递增区间为(-2,0)或者(0,2)
1)
y=f(x)是定义在R上奇函数:
f(-x)=-f(x)
f(0)=0
x<0时:f(x)=x^2+4x+3
x>0时:-x<0,f(-x)=(-x)^2-4x+3=x^2-4x+3=-f(x)
所以:x>0时,f(x)=-x^2+4x-3
所以f(x)的解析式为:
x^2+4x+3,x<0
f(x)={ 0 x=0
-x^2+4x-3,x>0
2)
x<0时,f(x)=x^2+4x+3
求导:f'(x)=2x+4
解f'(x)=0得x=-2
x<-2时,f'(x)<0,f(x)是减函数
-2<x<0时,f'(x)>0,f(x)是增函数
根据对称轴,0<x<2时,f(x)也是增函数
所以:f(x)的单调递增区间为(-2,0)或者(0,2)
追问
第二题的 f(x)的单调递增区间为(-2,0)或者(0,2) 这个画图的时候是要空心还是实心?
追答
在-2和2上空心和实心都可以,一般用空心即可
在x=0处只能用空心,因为x=0是函数不连续
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